다음을 풀어보세요: {l}{25x+y=9}{1.6x+0.2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 25 x + y = 9 } \\ { 1.6 x + 0.2 y = 13 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = -\frac{56}{17} = -3\frac{5}{17} \approx -3.294117647$$

$$y = \frac{1553}{17} = 91\frac{6}{17} \approx 91.352941176$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$25x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$25x+y=9$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$25x=-y+9$$

양쪽을 25(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{25}\left(-y+9\right)$$

\frac{1}{25}에 -y+9을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{25}y+\frac{9}{25}$$

다른 수식 1.6x+0.2y=13에서 \frac{-y+9}{25}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$1.6\left(-\frac{1}{25}y+\frac{9}{25}\right)+0.2y=13$$

1.6에 \frac{-y+9}{25}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{8}{125}y+\frac{72}{125}+0.2y=13$$

-\frac{8y}{125}을(를) \frac{y}{5}에 추가합니다.

$$\frac{17}{125}y+\frac{72}{125}=13$$

수식의 양쪽에서 \frac{72}{125}을(를) 뺍니다.

$$\frac{17}{125}y=\frac{1553}{125}$$

수식의 양쪽을 \frac{17}{125}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{1553}{17}$$

x=-\frac{1}{25}y+\frac{9}{25}에서 y을(를) \frac{1553}{17}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{25}\times \frac{1553}{17}+\frac{9}{25}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{1}{25}에 \frac{1553}{17}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{1553}{425}+\frac{9}{25}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{9}{25}을(를) -\frac{1553}{425}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{56}{17}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{56}{17},y=\frac{1553}{17}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$25x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{25\times 0.2-1.6}&-\frac{1}{25\times 0.2-1.6}\\-\frac{1.6}{25\times 0.2-1.6}&\frac{25}{25\times 0.2-1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&-\frac{5}{17}\\-\frac{8}{17}&\frac{125}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}\times 9-\frac{5}{17}\times 13\\-\frac{8}{17}\times 9+\frac{125}{17}\times 13\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{56}{17}\\\frac{1553}{17}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-\frac{56}{17},y=\frac{1553}{17}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$25x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

25x 및 \frac{8x}{5}을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1.6을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 25을(를) 곱합니다.

$$1.6\times 25x+1.6y=1.6\times 9,25\times 1.6x+25\times 0.2y=25\times 13$$

단순화합니다.

$$40x+1.6y=14.4,40x+5y=325$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 40x+1.6y=14.4에서 40x+5y=325을(를) 뺍니다.

$$40x-40x+1.6y-5y=14.4-325$$

40x을(를) -40x에 추가합니다. 40x 및 -40x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$1.6y-5y=14.4-325$$

\frac{8y}{5}을(를) -5y에 추가합니다.

$$-3.4y=14.4-325$$

14.4을(를) -325에 추가합니다.

$$-3.4y=-310.6$$

수식의 양쪽을 -3.4(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{1553}{17}$$

1.6x+0.2y=13에서 y을(를) \frac{1553}{17}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$1.6x+0.2\times \frac{1553}{17}=13$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 0.2에 \frac{1553}{17}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$1.6x+\frac{1553}{85}=13$$

수식의 양쪽에서 \frac{1553}{85}을(를) 뺍니다.

$$1.6x=-\frac{448}{85}$$

수식의 양쪽을 1.6(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$x=-\frac{56}{17}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{56}{17},y=\frac{1553}{17}$$