다음을 풀어보세요: {l}{25c+22T=152000}{11c+12T=75000}

$$\left. \begin{array} { l } { 25 c + 22 T = 152000 } \\ { 11 c + 12 T = 75000 } \end{array} \right.$$

c, T에 대한 해

$$c=3000$$

$$T=3500$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 c을(를) 고립시켜 c에 대한 해를 찾습니다.

$$25c+22T=152000$$

수식의 양쪽에서 22T을(를) 뺍니다.

$$25c=-22T+152000$$

양쪽을 25(으)로 나눕니다.

$$c=\frac{1}{25}\left(-22T+152000\right)$$

\frac{1}{25}에 -22T+152000을(를) 곱합니다.

$$c=-\frac{22}{25}T+6080$$

다른 수식 11c+12T=75000에서 -\frac{22T}{25}+6080을(를) c(으)로 치환합니다.

$$11\left(-\frac{22}{25}T+6080\right)+12T=75000$$

11에 -\frac{22T}{25}+6080을(를) 곱합니다.

$$-\frac{242}{25}T+66880+12T=75000$$

-\frac{242T}{25}을(를) 12T에 추가합니다.

$$\frac{58}{25}T+66880=75000$$

수식의 양쪽에서 66880을(를) 뺍니다.

$$\frac{58}{25}T=8120$$

수식의 양쪽을 \frac{58}{25}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$T=3500$$

c=-\frac{22}{25}T+6080에서 T을(를) 3500(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 c에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$c=-\frac{22}{25}\times 3500+6080$$

-\frac{22}{25}에 3500을(를) 곱합니다.

$$c=-3080+6080$$

6080을(를) -3080에 추가합니다.

$$c=3000$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$c=3000,T=3500$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{25\times 12-22\times 11}&-\frac{22}{25\times 12-22\times 11}\\-\frac{11}{25\times 12-22\times 11}&\frac{25}{25\times 12-22\times 11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{29}&-\frac{11}{29}\\-\frac{11}{58}&\frac{25}{58}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{29}\times 152000-\frac{11}{29}\times 75000\\-\frac{11}{58}\times 152000+\frac{25}{58}\times 75000\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3000\\3500\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 c 및 T을(를) 추출합니다.

$$c=3000,T=3500$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

25c 및 11c을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 11을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 25을(를) 곱합니다.

$$11\times 25c+11\times 22T=11\times 152000,25\times 11c+25\times 12T=25\times 75000$$

단순화합니다.

$$275c+242T=1672000,275c+300T=1875000$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 275c+242T=1672000에서 275c+300T=1875000을(를) 뺍니다.

$$275c-275c+242T-300T=1672000-1875000$$

275c을(를) -275c에 추가합니다. 275c 및 -275c이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$242T-300T=1672000-1875000$$

242T을(를) -300T에 추가합니다.

$$-58T=1672000-1875000$$

1672000을(를) -1875000에 추가합니다.

$$-58T=-203000$$

양쪽을 -58(으)로 나눕니다.

$$T=3500$$

11c+12T=75000에서 T을(를) 3500(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 c에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$11c+12\times 3500=75000$$

12에 3500을(를) 곱합니다.

$$11c+42000=75000$$

수식의 양쪽에서 42000을(를) 뺍니다.

$$11c=33000$$

양쪽을 11(으)로 나눕니다.

$$c=3000$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$c=3000,T=3500$$