다음을 풀어보세요: {l}{21y-8x=4}{101y+8x=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 21 y - 8 x = 4 } \\ { 101 y + 8 x = 1 } \end{array} \right.$$

y, x에 대한 해

$$x=-\frac{383}{976}\approx -0.392418033$$

$$y=\frac{5}{122}\approx 0.040983607$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$21y-8x=4,101y+8x=1$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대한 해를 찾습니다.

$$21y-8x=4$$

수식의 양쪽에 8x을(를) 더합니다.

$$21y=8x+4$$

양쪽을 21(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{1}{21}\left(8x+4\right)$$

\frac{1}{21}에 8x+4을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{8}{21}x+\frac{4}{21}$$

다른 수식 101y+8x=1에서 \frac{8x+4}{21}을(를) y(으)로 치환합니다.

$$101\left(\frac{8}{21}x+\frac{4}{21}\right)+8x=1$$

101에 \frac{8x+4}{21}을(를) 곱합니다.

$$\frac{808}{21}x+\frac{404}{21}+8x=1$$

\frac{808x}{21}을(를) 8x에 추가합니다.

$$\frac{976}{21}x+\frac{404}{21}=1$$

수식의 양쪽에서 \frac{404}{21}을(를) 뺍니다.

$$\frac{976}{21}x=-\frac{383}{21}$$

수식의 양쪽을 \frac{976}{21}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$x=-\frac{383}{976}$$

y=\frac{8}{21}x+\frac{4}{21}에서 x을(를) -\frac{383}{976}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y=\frac{8}{21}\left(-\frac{383}{976}\right)+\frac{4}{21}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{8}{21}에 -\frac{383}{976}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$y=-\frac{383}{2562}+\frac{4}{21}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{4}{21}을(를) -\frac{383}{2562}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$y=\frac{5}{122}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=\frac{5}{122},x=-\frac{383}{976}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$21y-8x=4,101y+8x=1$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}21&-8\\101&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}21&-8\\101&8\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}21&-8\\101&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21&-8\\101&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&-8\\101&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&-8\\101&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&-8\\101&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{21\times 8-\left(-8\times 101\right)}&-\frac{-8}{21\times 8-\left(-8\times 101\right)}\\-\frac{101}{21\times 8-\left(-8\times 101\right)}&\frac{21}{21\times 8-\left(-8\times 101\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{122}&\frac{1}{122}\\-\frac{101}{976}&\frac{21}{976}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{122}\times 4+\frac{1}{122}\\-\frac{101}{976}\times 4+\frac{21}{976}\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{122}\\-\frac{383}{976}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 y 및 x을(를) 추출합니다.

$$y=\frac{5}{122},x=-\frac{383}{976}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$21y-8x=4,101y+8x=1$$

21y 및 101y을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 101을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 21을(를) 곱합니다.

$$101\times 21y+101\left(-8\right)x=101\times 4,21\times 101y+21\times 8x=21$$

단순화합니다.

$$2121y-808x=404,2121y+168x=21$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 2121y-808x=404에서 2121y+168x=21을(를) 뺍니다.

$$2121y-2121y-808x-168x=404-21$$

2121y을(를) -2121y에 추가합니다. 2121y 및 -2121y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-808x-168x=404-21$$

-808x을(를) -168x에 추가합니다.

$$-976x=404-21$$

404을(를) -21에 추가합니다.

$$-976x=383$$

양쪽을 -976(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{383}{976}$$

101y+8x=1에서 x을(를) -\frac{383}{976}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$101y+8\left(-\frac{383}{976}\right)=1$$

8에 -\frac{383}{976}을(를) 곱합니다.

$$101y-\frac{383}{122}=1$$

수식의 양쪽에 \frac{383}{122}을(를) 더합니다.

$$101y=\frac{505}{122}$$

양쪽을 101(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{5}{122}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=\frac{5}{122},x=-\frac{383}{976}$$