다음을 풀어보세요: {l}{2.5x+2.5y=17}{-1.5x-7.5y=-33}

$$\left. \begin{array} { l } { 2.5 x + 2.5 y = 17 } \\ { - 1.5 x - 7.5 y = - 33 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=3$$

$$y=3.8$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2.5x+2.5y=17,-1.5x-7.5y=-33$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2.5x+2.5y=17$$

수식의 양쪽에서 \frac{5y}{2}을(를) 뺍니다.

$$2.5x=-2.5y+17$$

수식의 양쪽을 2.5(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$x=0.4\left(-2.5y+17\right)$$

0.4에 -\frac{5y}{2}+17을(를) 곱합니다.

$$x=-y+6.8$$

다른 수식 -1.5x-7.5y=-33에서 -y+6.8을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-1.5\left(-y+6.8\right)-7.5y=-33$$

-1.5에 -y+6.8을(를) 곱합니다.

$$1.5y-10.2-7.5y=-33$$

\frac{3y}{2}을(를) -\frac{15y}{2}에 추가합니다.

$$-6y-10.2=-33$$

수식의 양쪽에 10.2을(를) 더합니다.

$$-6y=-22.8$$

양쪽을 -6(으)로 나눕니다.

$$y=3.8$$

x=-y+6.8에서 y을(를) 3.8(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-3.8+6.8$$

-1에 3.8을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-19+34}{5}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 6.8을(를) -3.8에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=3,y=3.8$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2.5x+2.5y=17,-1.5x-7.5y=-33$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}&-\frac{2.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}\\-\frac{-1.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}&\frac{2.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{10}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 17+\frac{1}{6}\left(-33\right)\\-\frac{1}{10}\times 17-\frac{1}{6}\left(-33\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\\frac{19}{5}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=3,y=\frac{19}{5}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2.5x+2.5y=17,-1.5x-7.5y=-33$$

\frac{5x}{2} 및 -\frac{3x}{2}을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -1.5을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2.5을(를) 곱합니다.

$$-1.5\times 2.5x-1.5\times 2.5y=-1.5\times 17,2.5\left(-1.5\right)x+2.5\left(-7.5\right)y=2.5\left(-33\right)$$

단순화합니다.

$$-3.75x-3.75y=-25.5,-3.75x-18.75y=-82.5$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -3.75x-3.75y=-25.5에서 -3.75x-18.75y=-82.5을(를) 뺍니다.

$$-3.75x+3.75x-3.75y+18.75y=\frac{-51+165}{2}$$

-\frac{15x}{4}을(를) \frac{15x}{4}에 추가합니다. -\frac{15x}{4} 및 \frac{15x}{4}이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-3.75y+18.75y=\frac{-51+165}{2}$$

-\frac{15y}{4}을(를) \frac{75y}{4}에 추가합니다.

$$15y=\frac{-51+165}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -25.5을(를) 82.5에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$15y=57$$

양쪽을 15(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{19}{5}$$

-1.5x-7.5y=-33에서 y을(를) \frac{19}{5}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-1.5x-7.5\times \frac{19}{5}=-33$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -7.5에 \frac{19}{5}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$-1.5x-\frac{57}{2}=-33$$

수식의 양쪽에 \frac{57}{2}을(를) 더합니다.

$$-1.5x=-\frac{9}{2}$$

수식의 양쪽을 -1.5(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$x=3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=3,y=\frac{19}{5}$$