다음을 풀어보세요: {l}{2y-3x=-27}{5y+3x=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 y - 3 x = - 27 } \\ { 5 y + 3 x = 6 } \end{array} \right.$$

y, x에 대한 해

$$x=7$$

$$y=-3$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2y-3x=-27,5y+3x=6$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대한 해를 찾습니다.

$$2y-3x=-27$$

수식의 양쪽에 3x을(를) 더합니다.

$$2y=3x-27$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-27\right)$$

\frac{1}{2}에 -27+3x을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{3}{2}x-\frac{27}{2}$$

다른 수식 5y+3x=6에서 \frac{-27+3x}{2}을(를) y(으)로 치환합니다.

$$5\left(\frac{3}{2}x-\frac{27}{2}\right)+3x=6$$

5에 \frac{-27+3x}{2}을(를) 곱합니다.

$$\frac{15}{2}x-\frac{135}{2}+3x=6$$

\frac{15x}{2}을(를) 3x에 추가합니다.

$$\frac{21}{2}x-\frac{135}{2}=6$$

수식의 양쪽에 \frac{135}{2}을(를) 더합니다.

$$\frac{21}{2}x=\frac{147}{2}$$

수식의 양쪽을 \frac{21}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$x=7$$

y=\frac{3}{2}x-\frac{27}{2}에서 x을(를) 7(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y=\frac{3}{2}\times 7-\frac{27}{2}$$

\frac{3}{2}에 7을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{21-27}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{27}{2}을(를) \frac{21}{2}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$y=-3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=-3,x=7$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2y-3x=-27,5y+3x=6$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{5}{21}&\frac{2}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-27\right)+\frac{1}{7}\times 6\\-\frac{5}{21}\left(-27\right)+\frac{2}{21}\times 6\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 y 및 x을(를) 추출합니다.

$$y=-3,x=7$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2y-3x=-27,5y+3x=6$$

2y 및 5y을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$5\times 2y+5\left(-3\right)x=5\left(-27\right),2\times 5y+2\times 3x=2\times 6$$

단순화합니다.

$$10y-15x=-135,10y+6x=12$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 10y-15x=-135에서 10y+6x=12을(를) 뺍니다.

$$10y-10y-15x-6x=-135-12$$

10y을(를) -10y에 추가합니다. 10y 및 -10y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-15x-6x=-135-12$$

-15x을(를) -6x에 추가합니다.

$$-21x=-135-12$$

-135을(를) -12에 추가합니다.

$$-21x=-147$$

양쪽을 -21(으)로 나눕니다.

$$x=7$$

5y+3x=6에서 x을(를) 7(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$5y+3\times 7=6$$

3에 7을(를) 곱합니다.

$$5y+21=6$$

수식의 양쪽에서 21을(를) 뺍니다.

$$5y=-15$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$y=-3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=-3,x=7$$