다음을 풀어보세요: {l}{2x_{1}+3x_{2}=7}{4x_{1}-4x_{2}=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 7 } \\ { 4 x _ { 1 } - 4 x _ { 2 } = - 6 } \end{array} \right.$$

x_1, x_2에 대한 해

$$x_{1}=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x_{2}=2$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x_{1}을(를) 고립시켜 x_{1}에 대한 해를 찾습니다.

$$2x_{1}+3x_{2}=7$$

수식의 양쪽에서 3x_{2}을(를) 뺍니다.

$$2x_{1}=-3x_{2}+7$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x_{1}=\frac{1}{2}\left(-3x_{2}+7\right)$$

\frac{1}{2}에 -3x_{2}+7을(를) 곱합니다.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}$$

다른 수식 4x_{1}-4x_{2}=-6에서 \frac{-3x_{2}+7}{2}을(를) x_{1}(으)로 치환합니다.

$$4\left(-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}\right)-4x_{2}=-6$$

4에 \frac{-3x_{2}+7}{2}을(를) 곱합니다.

$$-6x_{2}+14-4x_{2}=-6$$

-6x_{2}을(를) -4x_{2}에 추가합니다.

$$-10x_{2}+14=-6$$

수식의 양쪽에서 14을(를) 뺍니다.

$$-10x_{2}=-20$$

양쪽을 -10(으)로 나눕니다.

$$x_{2}=2$$

x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}에서 x_{2}을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x_{1}에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}\times 2+\frac{7}{2}$$

-\frac{3}{2}에 2을(를) 곱합니다.

$$x_{1}=-3+\frac{7}{2}$$

\frac{7}{2}을(를) -3에 추가합니다.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)에 대해 역행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬 수식은 행렬 곱 문제로 다시 쓸 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 7+\frac{3}{20}\left(-6\right)\\\frac{1}{5}\times 7-\frac{1}{10}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\2\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x_{1} 및 x_{2}을(를) 추출합니다.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

2x_{1} 및 4x_{1}을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$4\times 2x_{1}+4\times 3x_{2}=4\times 7,2\times 4x_{1}+2\left(-4\right)x_{2}=2\left(-6\right)$$

단순화합니다.

$$8x_{1}+12x_{2}=28,8x_{1}-8x_{2}=-12$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 8x_{1}+12x_{2}=28에서 8x_{1}-8x_{2}=-12을(를) 뺍니다.

$$8x_{1}-8x_{1}+12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

8x_{1}을(를) -8x_{1}에 추가합니다. 8x_{1} 및 -8x_{1}이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

12x_{2}을(를) 8x_{2}에 추가합니다.

$$20x_{2}=28+12$$

28을(를) 12에 추가합니다.

$$20x_{2}=40$$

양쪽을 20(으)로 나눕니다.

$$x_{2}=2$$

4x_{1}-4x_{2}=-6에서 x_{2}을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x_{1}에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$4x_{1}-4\times 2=-6$$

-4에 2을(를) 곱합니다.

$$4x_{1}-8=-6$$

수식의 양쪽에 8을(를) 더합니다.

$$4x_{1}=2$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$