다음을 풀어보세요: {l}{2x-y=13}{-2x-5y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = 13 } \\ { - 2 x - 5 y = 17 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=4$$

$$y=-5$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2x-y=13,-2x-5y=17$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2x-y=13$$

수식의 양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$2x=y+13$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+13\right)$$

\frac{1}{2}에 y+13을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}$$

다른 수식 -2x-5y=17에서 \frac{13+y}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-2\left(\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}\right)-5y=17$$

-2에 \frac{13+y}{2}을(를) 곱합니다.

$$-y-13-5y=17$$

-y을(를) -5y에 추가합니다.

$$-6y-13=17$$

수식의 양쪽에 13을(를) 더합니다.

$$-6y=30$$

양쪽을 -6(으)로 나눕니다.

$$y=-5$$

x=\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}에서 y을(를) -5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5\right)+\frac{13}{2}$$

\frac{1}{2}에 -5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-5+13}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{13}{2}을(를) -\frac{5}{2}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=4,y=-5$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2x-y=13,-2x-5y=17$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\17\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-1\\-2&-5\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\17\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\17\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{2\left(-5\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{2\left(-5\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-5\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\17\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{1}{12}\\-\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\17\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\times 13-\frac{1}{12}\times 17\\-\frac{1}{6}\times 13-\frac{1}{6}\times 17\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-5\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=4,y=-5$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2x-y=13,-2x-5y=17$$

2x 및 -2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$-2\times 2x-2\left(-1\right)y=-2\times 13,2\left(-2\right)x+2\left(-5\right)y=2\times 17$$

단순화합니다.

$$-4x+2y=-26,-4x-10y=34$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -4x+2y=-26에서 -4x-10y=34을(를) 뺍니다.

$$-4x+4x+2y+10y=-26-34$$

-4x을(를) 4x에 추가합니다. -4x 및 4x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$2y+10y=-26-34$$

2y을(를) 10y에 추가합니다.

$$12y=-26-34$$

-26을(를) -34에 추가합니다.

$$12y=-60$$

양쪽을 12(으)로 나눕니다.

$$y=-5$$

-2x-5y=17에서 y을(를) -5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-2x-5\left(-5\right)=17$$

-5에 -5을(를) 곱합니다.

$$-2x+25=17$$

수식의 양쪽에서 25을(를) 뺍니다.

$$-2x=-8$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$x=4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=4,y=-5$$