다음을 풀어보세요: {l}{2x-y=-2}{y=5x-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = - 2 } \\ { y = 5 x - 1 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=1$$

$$y=4$$

치환을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 5x을(를) 뺍니다.

$$y-5x=-1$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2x-y=-2,-5x+y=-1$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2x-y=-2$$

수식의 양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$2x=y-2$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2}\left(y-2\right)$$

\frac{1}{2}에 y-2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{1}{2}y-1$$

다른 수식 -5x+y=-1에서 \frac{y}{2}-1을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-5\left(\frac{1}{2}y-1\right)+y=-1$$

-5에 \frac{y}{2}-1을(를) 곱합니다.

$$-\frac{5}{2}y+5+y=-1$$

-\frac{5y}{2}을(를) y에 추가합니다.

$$-\frac{3}{2}y+5=-1$$

수식의 양쪽에서 5을(를) 뺍니다.

$$-\frac{3}{2}y=-6$$

수식의 양쪽을 -\frac{3}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=4$$

x=\frac{1}{2}y-1에서 y을(를) 4(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{1}{2}\times 4-1$$

\frac{1}{2}에 4을(를) 곱합니다.

$$x=2-1$$

-1을(를) 2에 추가합니다.

$$x=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1,y=4$$

행렬을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 5x을(를) 뺍니다.

$$y-5x=-1$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2x-y=-2,-5x+y=-1$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-\left(-5\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{2-\left(-\left(-5\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{5}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-2\right)-\frac{1}{3}\left(-1\right)\\-\frac{5}{3}\left(-2\right)-\frac{2}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=1,y=4$$

소거를 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 5x을(를) 뺍니다.

$$y-5x=-1$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2x-y=-2,-5x+y=-1$$

2x 및 -5x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -5을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$-5\times 2x-5\left(-1\right)y=-5\left(-2\right),2\left(-5\right)x+2y=2\left(-1\right)$$

단순화합니다.

$$-10x+5y=10,-10x+2y=-2$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -10x+5y=10에서 -10x+2y=-2을(를) 뺍니다.

$$-10x+10x+5y-2y=10+2$$

-10x을(를) 10x에 추가합니다. -10x 및 10x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$5y-2y=10+2$$

5y을(를) -2y에 추가합니다.

$$3y=10+2$$

10을(를) 2에 추가합니다.

$$3y=12$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$y=4$$

-5x+y=-1에서 y을(를) 4(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-5x+4=-1$$

수식의 양쪽에서 4을(를) 뺍니다.

$$-5x=-5$$

양쪽을 -5(으)로 나눕니다.

$$x=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1,y=4$$