다음을 풀어보세요: {l}{2x-5y=10}{4x+y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 10 } \\ { 4 x + y = 5 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{35}{22} = 1\frac{13}{22} \approx 1.590909091$$

$$y = -\frac{15}{11} = -1\frac{4}{11} \approx -1.363636364$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2x-5y=10,4x+y=5$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2x-5y=10$$

수식의 양쪽에 5y을(를) 더합니다.

$$2x=5y+10$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+10\right)$$

\frac{1}{2}에 10+5y을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{5}{2}y+5$$

다른 수식 4x+y=5에서 5+\frac{5y}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$4\left(\frac{5}{2}y+5\right)+y=5$$

4에 5+\frac{5y}{2}을(를) 곱합니다.

$$10y+20+y=5$$

10y을(를) y에 추가합니다.

$$11y+20=5$$

수식의 양쪽에서 20을(를) 뺍니다.

$$11y=-15$$

양쪽을 11(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{15}{11}$$

x=\frac{5}{2}y+5에서 y을(를) -\frac{15}{11}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{5}{2}\left(-\frac{15}{11}\right)+5$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{5}{2}에 -\frac{15}{11}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{75}{22}+5$$

5을(를) -\frac{75}{22}에 추가합니다.

$$x=\frac{35}{22}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{35}{22},y=-\frac{15}{11}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2x-5y=10,4x+y=5$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{2-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-5\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}&\frac{5}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}\times 10+\frac{5}{22}\times 5\\-\frac{2}{11}\times 10+\frac{1}{11}\times 5\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{22}\\-\frac{15}{11}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{35}{22},y=-\frac{15}{11}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2x-5y=10,4x+y=5$$

2x 및 4x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$4\times 2x+4\left(-5\right)y=4\times 10,2\times 4x+2y=2\times 5$$

단순화합니다.

$$8x-20y=40,8x+2y=10$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 8x-20y=40에서 8x+2y=10을(를) 뺍니다.

$$8x-8x-20y-2y=40-10$$

8x을(를) -8x에 추가합니다. 8x 및 -8x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-20y-2y=40-10$$

-20y을(를) -2y에 추가합니다.

$$-22y=40-10$$

40을(를) -10에 추가합니다.

$$-22y=30$$

양쪽을 -22(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{15}{11}$$

4x+y=5에서 y을(를) -\frac{15}{11}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$4x-\frac{15}{11}=5$$

수식의 양쪽에 \frac{15}{11}을(를) 더합니다.

$$4x=\frac{70}{11}$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{35}{22}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{35}{22},y=-\frac{15}{11}$$