다음을 풀어보세요: {l}{2x-4y=10}{6x-4y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 4 y = 10 } \\ { 6 x - 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$y = -\frac{19}{8} = -2\frac{3}{8} = -2.375$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2x-4y=10,6x-4y=11$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2x-4y=10$$

수식의 양쪽에 4y을(를) 더합니다.

$$2x=4y+10$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2}\left(4y+10\right)$$

\frac{1}{2}에 4y+10을(를) 곱합니다.

$$x=2y+5$$

다른 수식 6x-4y=11에서 2y+5을(를) x(으)로 치환합니다.

$$6\left(2y+5\right)-4y=11$$

6에 2y+5을(를) 곱합니다.

$$12y+30-4y=11$$

12y을(를) -4y에 추가합니다.

$$8y+30=11$$

수식의 양쪽에서 30을(를) 뺍니다.

$$8y=-19$$

양쪽을 8(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{19}{8}$$

x=2y+5에서 y을(를) -\frac{19}{8}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=2\left(-\frac{19}{8}\right)+5$$

2에 -\frac{19}{8}을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{19}{4}+5$$

5을(를) -\frac{19}{4}에 추가합니다.

$$x=\frac{1}{4}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{1}{4},y=-\frac{19}{8}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2x-4y=10,6x-4y=11$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}&-\frac{-4}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}\\-\frac{6}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}&\frac{2}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 10+\frac{1}{4}\times 11\\-\frac{3}{8}\times 10+\frac{1}{8}\times 11\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\-\frac{19}{8}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{1}{4},y=-\frac{19}{8}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2x-4y=10,6x-4y=11$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 2x-4y=10에서 6x-4y=11을(를) 뺍니다.

$$2x-6x-4y+4y=10-11$$

-4y을(를) 4y에 추가합니다. -4y 및 4y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$2x-6x=10-11$$

2x을(를) -6x에 추가합니다.

$$-4x=10-11$$

10을(를) -11에 추가합니다.

$$-4x=-1$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{4}$$

6x-4y=11에서 x을(를) \frac{1}{4}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$6\times \frac{1}{4}-4y=11$$

6에 \frac{1}{4}을(를) 곱합니다.

$$\frac{3}{2}-4y=11$$

수식의 양쪽에서 \frac{3}{2}을(를) 뺍니다.

$$-4y=\frac{19}{2}$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{19}{8}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{1}{4},y=-\frac{19}{8}$$