다음을 풀어보세요: {l}{2x-3y-10=0}{2y=-17-3x}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y - 10 = 0 } \\ { 2 y = - 17 - 3 x } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = -\frac{31}{13} = -2\frac{5}{13} \approx -2.384615385$$

$$y = -\frac{64}{13} = -4\frac{12}{13} \approx -4.923076923$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 10을(를) 더합니다. 모든 항목에 0을 더한 결과는 해당 항목 자체입니다.

$$2x-3y=10$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 3x을(를) 더합니다.

$$2y+3x=-17$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2x-3y=10,3x+2y=-17$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2x-3y=10$$

수식의 양쪽에 3y을(를) 더합니다.

$$2x=3y+10$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+10\right)$$

\frac{1}{2}에 3y+10을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{3}{2}y+5$$

다른 수식 3x+2y=-17에서 \frac{3y}{2}+5을(를) x(으)로 치환합니다.

$$3\left(\frac{3}{2}y+5\right)+2y=-17$$

3에 \frac{3y}{2}+5을(를) 곱합니다.

$$\frac{9}{2}y+15+2y=-17$$

\frac{9y}{2}을(를) 2y에 추가합니다.

$$\frac{13}{2}y+15=-17$$

수식의 양쪽에서 15을(를) 뺍니다.

$$\frac{13}{2}y=-32$$

수식의 양쪽을 \frac{13}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-\frac{64}{13}$$

x=\frac{3}{2}y+5에서 y을(를) -\frac{64}{13}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{64}{13}\right)+5$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{3}{2}에 -\frac{64}{13}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{96}{13}+5$$

5을(를) -\frac{96}{13}에 추가합니다.

$$x=-\frac{31}{13}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{31}{13},y=-\frac{64}{13}$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 10을(를) 더합니다. 모든 항목에 0을 더한 결과는 해당 항목 자체입니다.

$$2x-3y=10$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 3x을(를) 더합니다.

$$2y+3x=-17$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2x-3y=10,3x+2y=-17$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)에 대해 역행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬 수식은 행렬 곱 문제로 다시 쓸 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 10+\frac{3}{13}\left(-17\right)\\-\frac{3}{13}\times 10+\frac{2}{13}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{31}{13}\\-\frac{64}{13}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-\frac{31}{13},y=-\frac{64}{13}$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 10을(를) 더합니다. 모든 항목에 0을 더한 결과는 해당 항목 자체입니다.

$$2x-3y=10$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 3x을(를) 더합니다.

$$2y+3x=-17$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2x-3y=10,3x+2y=-17$$

2x 및 3x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 10,2\times 3x+2\times 2y=2\left(-17\right)$$

단순화합니다.

$$6x-9y=30,6x+4y=-34$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 6x-9y=30에서 6x+4y=-34을(를) 뺍니다.

$$6x-6x-9y-4y=30+34$$

6x을(를) -6x에 추가합니다. 6x 및 -6x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-9y-4y=30+34$$

-9y을(를) -4y에 추가합니다.

$$-13y=30+34$$

30을(를) 34에 추가합니다.

$$-13y=64$$

양쪽을 -13(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{64}{13}$$

3x+2y=-17에서 y을(를) -\frac{64}{13}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3x+2\left(-\frac{64}{13}\right)=-17$$

2에 -\frac{64}{13}을(를) 곱합니다.

$$3x-\frac{128}{13}=-17$$

수식의 양쪽에 \frac{128}{13}을(를) 더합니다.

$$3x=-\frac{93}{13}$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{31}{13}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{31}{13},y=-\frac{64}{13}$$