다음을 풀어보세요: {l}{2x+y=3}{y=2x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 3 } \\ { y = 2 x + 1 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=2$$

치환을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$y-2x=1$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2x+y=3,-2x+y=1$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2x+y=3$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$2x=-y+3$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

\frac{1}{2}에 -y+3을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

다른 수식 -2x+y=1에서 \frac{-y+3}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-2\left(-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)+y=1$$

-2에 \frac{-y+3}{2}을(를) 곱합니다.

$$y-3+y=1$$

y을(를) y에 추가합니다.

$$2y-3=1$$

수식의 양쪽에 3을(를) 더합니다.

$$2y=4$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$y=2$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}에서 y을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2+\frac{3}{2}$$

-\frac{1}{2}에 2을(를) 곱합니다.

$$x=-1+\frac{3}{2}$$

\frac{3}{2}을(를) -1에 추가합니다.

$$x=\frac{1}{2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{1}{2},y=2$$

행렬을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$y-2x=1$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2x+y=3,-2x+y=1$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\-2&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-2\right)}&-\frac{1}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2-\left(-2\right)}&\frac{2}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 3-\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\2\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{1}{2},y=2$$

소거를 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$y-2x=1$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2x+y=3,-2x+y=1$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 2x+y=3에서 -2x+y=1을(를) 뺍니다.

$$2x+2x+y-y=3-1$$

y을(를) -y에 추가합니다. y 및 -y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$2x+2x=3-1$$

2x을(를) 2x에 추가합니다.

$$4x=3-1$$

3을(를) -1에 추가합니다.

$$4x=2$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2}$$

-2x+y=1에서 x을(를) \frac{1}{2}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-2\times \frac{1}{2}+y=1$$

-2에 \frac{1}{2}을(를) 곱합니다.

$$-1+y=1$$

수식의 양쪽에 1을(를) 더합니다.

$$y=2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{1}{2},y=2$$