다음을 풀어보세요: {l}{2x+y=12}{3x-2y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 12 } \\ { 3 x - 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{32}{7} = 4\frac{4}{7} \approx 4.571428571$$

$$y = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7} \approx 2.857142857$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2x+y=12,3x-2y=8$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2x+y=12$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$2x=-y+12$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+12\right)$$

\frac{1}{2}에 -y+12을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{2}y+6$$

다른 수식 3x-2y=8에서 -\frac{y}{2}+6을(를) x(으)로 치환합니다.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+6\right)-2y=8$$

3에 -\frac{y}{2}+6을(를) 곱합니다.

$$-\frac{3}{2}y+18-2y=8$$

-\frac{3y}{2}을(를) -2y에 추가합니다.

$$-\frac{7}{2}y+18=8$$

수식의 양쪽에서 18을(를) 뺍니다.

$$-\frac{7}{2}y=-10$$

수식의 양쪽을 -\frac{7}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{20}{7}$$

x=-\frac{1}{2}y+6에서 y을(를) \frac{20}{7}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{20}{7}+6$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{1}{2}에 \frac{20}{7}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{10}{7}+6$$

6을(를) -\frac{10}{7}에 추가합니다.

$$x=\frac{32}{7}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{32}{7},y=\frac{20}{7}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2x+y=12,3x-2y=8$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3}&-\frac{1}{2\left(-2\right)-3}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 12+\frac{1}{7}\times 8\\\frac{3}{7}\times 12-\frac{2}{7}\times 8\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{32}{7}\\\frac{20}{7}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{32}{7},y=\frac{20}{7}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2x+y=12,3x-2y=8$$

2x 및 3x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$3\times 2x+3y=3\times 12,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 8$$

단순화합니다.

$$6x+3y=36,6x-4y=16$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 6x+3y=36에서 6x-4y=16을(를) 뺍니다.

$$6x-6x+3y+4y=36-16$$

6x을(를) -6x에 추가합니다. 6x 및 -6x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$3y+4y=36-16$$

3y을(를) 4y에 추가합니다.

$$7y=36-16$$

36을(를) -16에 추가합니다.

$$7y=20$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{20}{7}$$

3x-2y=8에서 y을(를) \frac{20}{7}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3x-2\times \frac{20}{7}=8$$

-2에 \frac{20}{7}을(를) 곱합니다.

$$3x-\frac{40}{7}=8$$

수식의 양쪽에 \frac{40}{7}을(를) 더합니다.

$$3x=\frac{96}{7}$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{32}{7}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{32}{7},y=\frac{20}{7}$$