다음을 풀어보세요: {l}{2x+y=-16}{-4x+10y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = - 16 } \\ { - 4 x + 10 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-7$$

$$y=-2$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2x+y=-16,-4x+10y=8$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2x+y=-16$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$2x=-y-16$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-16\right)$$

\frac{1}{2}에 -y-16을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{2}y-8$$

다른 수식 -4x+10y=8에서 -\frac{y}{2}-8을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-4\left(-\frac{1}{2}y-8\right)+10y=8$$

-4에 -\frac{y}{2}-8을(를) 곱합니다.

$$2y+32+10y=8$$

2y을(를) 10y에 추가합니다.

$$12y+32=8$$

수식의 양쪽에서 32을(를) 뺍니다.

$$12y=-24$$

양쪽을 12(으)로 나눕니다.

$$y=-2$$

x=-\frac{1}{2}y-8에서 y을(를) -2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-2\right)-8$$

-\frac{1}{2}에 -2을(를) 곱합니다.

$$x=1-8$$

-8을(를) 1에 추가합니다.

$$x=-7$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-7,y=-2$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2x+y=-16,-4x+10y=8$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{2\times 10-\left(-4\right)}&-\frac{1}{2\times 10-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{2\times 10-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 10-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{1}{24}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\left(-16\right)-\frac{1}{24}\times 8\\\frac{1}{6}\left(-16\right)+\frac{1}{12}\times 8\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-7,y=-2$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2x+y=-16,-4x+10y=8$$

2x 및 -4x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$-4\times 2x-4y=-4\left(-16\right),2\left(-4\right)x+2\times 10y=2\times 8$$

단순화합니다.

$$-8x-4y=64,-8x+20y=16$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -8x-4y=64에서 -8x+20y=16을(를) 뺍니다.

$$-8x+8x-4y-20y=64-16$$

-8x을(를) 8x에 추가합니다. -8x 및 8x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-4y-20y=64-16$$

-4y을(를) -20y에 추가합니다.

$$-24y=64-16$$

64을(를) -16에 추가합니다.

$$-24y=48$$

양쪽을 -24(으)로 나눕니다.

$$y=-2$$

-4x+10y=8에서 y을(를) -2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-4x+10\left(-2\right)=8$$

10에 -2을(를) 곱합니다.

$$-4x-20=8$$

수식의 양쪽에 20을(를) 더합니다.

$$-4x=28$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$x=-7$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-7,y=-2$$