다음을 풀어보세요: {l}{2x+9y=3}{3x+2y=-7}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 9 y = 3 } \\ { 3 x + 2 y = - 7 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-3$$

$$y=1$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2x+9y=3,3x+2y=-7$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2x+9y=3$$

수식의 양쪽에서 9y을(를) 뺍니다.

$$2x=-9y+3$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2}\left(-9y+3\right)$$

\frac{1}{2}에 -9y+3을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{9}{2}y+\frac{3}{2}$$

다른 수식 3x+2y=-7에서 \frac{-9y+3}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$3\left(-\frac{9}{2}y+\frac{3}{2}\right)+2y=-7$$

3에 \frac{-9y+3}{2}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{27}{2}y+\frac{9}{2}+2y=-7$$

-\frac{27y}{2}을(를) 2y에 추가합니다.

$$-\frac{23}{2}y+\frac{9}{2}=-7$$

수식의 양쪽에서 \frac{9}{2}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{23}{2}y=-\frac{23}{2}$$

수식의 양쪽을 -\frac{23}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=1$$

x=-\frac{9}{2}y+\frac{3}{2}에서 y을(를) 1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{-9+3}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{3}{2}을(를) -\frac{9}{2}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-3,y=1$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2x+9y=3,3x+2y=-7$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&9\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&9\\3&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&9\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-7\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-7\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-9\times 3}&-\frac{9}{2\times 2-9\times 3}\\-\frac{3}{2\times 2-9\times 3}&\frac{2}{2\times 2-9\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-7\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{23}&\frac{9}{23}\\\frac{3}{23}&-\frac{2}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-7\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{23}\times 3+\frac{9}{23}\left(-7\right)\\\frac{3}{23}\times 3-\frac{2}{23}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-3,y=1$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2x+9y=3,3x+2y=-7$$

2x 및 3x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$3\times 2x+3\times 9y=3\times 3,2\times 3x+2\times 2y=2\left(-7\right)$$

단순화합니다.

$$6x+27y=9,6x+4y=-14$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 6x+27y=9에서 6x+4y=-14을(를) 뺍니다.

$$6x-6x+27y-4y=9+14$$

6x을(를) -6x에 추가합니다. 6x 및 -6x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$27y-4y=9+14$$

27y을(를) -4y에 추가합니다.

$$23y=9+14$$

9을(를) 14에 추가합니다.

$$23y=23$$

양쪽을 23(으)로 나눕니다.

$$y=1$$

3x+2y=-7에서 y을(를) 1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3x+2=-7$$

수식의 양쪽에서 2을(를) 뺍니다.

$$3x=-9$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=-3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-3,y=1$$