다음을 풀어보세요: {l}{2x+9y=19}{4x+my=53}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 9 y = 19 } \\ { 4 x + m y = 53 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-\frac{477-19m}{2\left(m-18\right)}$$

$$y=\frac{15}{m-18}$$

$$m\neq 18$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2x+9y=19$$

수식의 양쪽에서 9y을(를) 뺍니다.

$$2x=-9y+19$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2}\left(-9y+19\right)$$

\frac{1}{2}에 -9y+19을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}$$

다른 수식 4x+my=53에서 \frac{-9y+19}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$4\left(-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}\right)+my=53$$

4에 \frac{-9y+19}{2}을(를) 곱합니다.

$$-18y+38+my=53$$

-18y을(를) my에 추가합니다.

$$\left(m-18\right)y+38=53$$

수식의 양쪽에서 38을(를) 뺍니다.

$$\left(m-18\right)y=15$$

양쪽을 -18+m(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{15}{m-18}$$

x=-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}에서 y을(를) \frac{15}{-18+m}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{9}{2}\times \frac{15}{m-18}+\frac{19}{2}$$

-\frac{9}{2}에 \frac{15}{-18+m}을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{135}{2\left(m-18\right)}+\frac{19}{2}$$

\frac{19}{2}을(를) -\frac{135}{2\left(-18+m\right)}에 추가합니다.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)},y=\frac{15}{m-18}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2m-9\times 4}&-\frac{9}{2m-9\times 4}\\-\frac{4}{2m-9\times 4}&\frac{2}{2m-9\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2\left(m-18\right)}&-\frac{9}{2\left(m-18\right)}\\-\frac{2}{m-18}&\frac{1}{m-18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2\left(m-18\right)}\times 19+\left(-\frac{9}{2\left(m-18\right)}\right)\times 53\\\left(-\frac{2}{m-18}\right)\times 19+\frac{1}{m-18}\times 53\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)}\\\frac{15}{m-18}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)},y=\frac{15}{m-18}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

2x 및 4x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$4\times 2x+4\times 9y=4\times 19,2\times 4x+2my=2\times 53$$

단순화합니다.

$$8x+36y=76,8x+2my=106$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 8x+36y=76에서 8x+2my=106을(를) 뺍니다.

$$8x-8x+36y+\left(-2m\right)y=76-106$$

8x을(를) -8x에 추가합니다. 8x 및 -8x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$36y+\left(-2m\right)y=76-106$$

36y을(를) -2my에 추가합니다.

$$\left(36-2m\right)y=76-106$$

76을(를) -106에 추가합니다.

$$\left(36-2m\right)y=-30$$

양쪽을 36-2m(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{15}{18-m}$$

4x+my=53에서 y을(를) -\frac{15}{18-m}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$4x+m\left(-\frac{15}{18-m}\right)=53$$

m에 -\frac{15}{18-m}을(를) 곱합니다.

$$4x-\frac{15m}{18-m}=53$$

수식의 양쪽에 \frac{15m}{18-m}을(를) 더합니다.

$$4x=\frac{2\left(477-19m\right)}{18-m}$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{477-19m}{2\left(18-m\right)}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{477-19m}{2\left(18-m\right)},y=-\frac{15}{18-m}$$