다음을 풀어보세요: {l}{2x+5y=259}{199x-2y=1127}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 259 } \\ { 199 x - 2 y = 1127 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{2051}{333} = 6\frac{53}{333} \approx 6.159159159$$

$$y = \frac{16429}{333} = 49\frac{112}{333} \approx 49.336336336$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2x+5y=259$$

수식의 양쪽에서 5y을(를) 뺍니다.

$$2x=-5y+259$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+259\right)$$

\frac{1}{2}에 -5y+259을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}$$

다른 수식 199x-2y=1127에서 \frac{-5y+259}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$199\left(-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}\right)-2y=1127$$

199에 \frac{-5y+259}{2}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{995}{2}y+\frac{51541}{2}-2y=1127$$

-\frac{995y}{2}을(를) -2y에 추가합니다.

$$-\frac{999}{2}y+\frac{51541}{2}=1127$$

수식의 양쪽에서 \frac{51541}{2}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{999}{2}y=-\frac{49287}{2}$$

수식의 양쪽을 -\frac{999}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{16429}{333}$$

x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}에서 y을(를) \frac{16429}{333}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{16429}{333}+\frac{259}{2}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{5}{2}에 \frac{16429}{333}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{82145}{666}+\frac{259}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{259}{2}을(를) -\frac{82145}{666}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{2051}{333}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\times 199}\\-\frac{199}{2\left(-2\right)-5\times 199}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}&\frac{5}{999}\\\frac{199}{999}&-\frac{2}{999}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}\times 259+\frac{5}{999}\times 1127\\\frac{199}{999}\times 259-\frac{2}{999}\times 1127\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2051}{333}\\\frac{16429}{333}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

2x 및 199x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 199을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$199\times 2x+199\times 5y=199\times 259,2\times 199x+2\left(-2\right)y=2\times 1127$$

단순화합니다.

$$398x+995y=51541,398x-4y=2254$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 398x+995y=51541에서 398x-4y=2254을(를) 뺍니다.

$$398x-398x+995y+4y=51541-2254$$

398x을(를) -398x에 추가합니다. 398x 및 -398x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$995y+4y=51541-2254$$

995y을(를) 4y에 추가합니다.

$$999y=51541-2254$$

51541을(를) -2254에 추가합니다.

$$999y=49287$$

양쪽을 999(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{16429}{333}$$

199x-2y=1127에서 y을(를) \frac{16429}{333}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$199x-2\times \frac{16429}{333}=1127$$

-2에 \frac{16429}{333}을(를) 곱합니다.

$$199x-\frac{32858}{333}=1127$$

수식의 양쪽에 \frac{32858}{333}을(를) 더합니다.

$$199x=\frac{408149}{333}$$

양쪽을 199(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{2051}{333}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$