다음을 풀어보세요: {l}{2x+5y=17}{6y=6-5x}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 17 } \\ { 6 y = 6 - 5 x } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = -\frac{72}{13} = -5\frac{7}{13} \approx -5.538461538$$

$$y = \frac{73}{13} = 5\frac{8}{13} \approx 5.615384615$$

치환을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 5x을(를) 더합니다.

$$6y+5x=6$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2x+5y=17,5x+6y=6$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2x+5y=17$$

수식의 양쪽에서 5y을(를) 뺍니다.

$$2x=-5y+17$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+17\right)$$

\frac{1}{2}에 -5y+17을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}$$

다른 수식 5x+6y=6에서 \frac{-5y+17}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$5\left(-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}\right)+6y=6$$

5에 \frac{-5y+17}{2}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{25}{2}y+\frac{85}{2}+6y=6$$

-\frac{25y}{2}을(를) 6y에 추가합니다.

$$-\frac{13}{2}y+\frac{85}{2}=6$$

수식의 양쪽에서 \frac{85}{2}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{13}{2}y=-\frac{73}{2}$$

수식의 양쪽을 -\frac{13}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{73}{13}$$

x=-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}에서 y을(를) \frac{73}{13}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{73}{13}+\frac{17}{2}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{5}{2}에 \frac{73}{13}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{365}{26}+\frac{17}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{17}{2}을(를) -\frac{365}{26}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{72}{13}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{72}{13},y=\frac{73}{13}$$

행렬을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 5x을(를) 더합니다.

$$6y+5x=6$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2x+5y=17,5x+6y=6$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-5\times 5}&-\frac{5}{2\times 6-5\times 5}\\-\frac{5}{2\times 6-5\times 5}&\frac{2}{2\times 6-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{13}&\frac{5}{13}\\\frac{5}{13}&-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{13}\times 17+\frac{5}{13}\times 6\\\frac{5}{13}\times 17-\frac{2}{13}\times 6\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{72}{13}\\\frac{73}{13}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-\frac{72}{13},y=\frac{73}{13}$$

소거를 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 5x을(를) 더합니다.

$$6y+5x=6$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2x+5y=17,5x+6y=6$$

2x 및 5x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$5\times 2x+5\times 5y=5\times 17,2\times 5x+2\times 6y=2\times 6$$

단순화합니다.

$$10x+25y=85,10x+12y=12$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 10x+25y=85에서 10x+12y=12을(를) 뺍니다.

$$10x-10x+25y-12y=85-12$$

10x을(를) -10x에 추가합니다. 10x 및 -10x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$25y-12y=85-12$$

25y을(를) -12y에 추가합니다.

$$13y=85-12$$

85을(를) -12에 추가합니다.

$$13y=73$$

양쪽을 13(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{73}{13}$$

5x+6y=6에서 y을(를) \frac{73}{13}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$5x+6\times \frac{73}{13}=6$$

6에 \frac{73}{13}을(를) 곱합니다.

$$5x+\frac{438}{13}=6$$

수식의 양쪽에서 \frac{438}{13}을(를) 뺍니다.

$$5x=-\frac{360}{13}$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{72}{13}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{72}{13},y=\frac{73}{13}$$