다음을 풀어보세요: {l}{2x+4y=5}{x=-y}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 5 } \\ { x = - y } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

치환을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$x+y=0$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2x+4y=5,x+y=0$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2x+4y=5$$

수식의 양쪽에서 4y을(를) 뺍니다.

$$2x=-4y+5$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+5\right)$$

\frac{1}{2}에 -4y+5을(를) 곱합니다.

$$x=-2y+\frac{5}{2}$$

다른 수식 x+y=0에서 -2y+\frac{5}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-2y+\frac{5}{2}+y=0$$

-2y을(를) y에 추가합니다.

$$-y+\frac{5}{2}=0$$

수식의 양쪽에서 \frac{5}{2}을(를) 뺍니다.

$$-y=-\frac{5}{2}$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{5}{2}$$

x=-2y+\frac{5}{2}에서 y을(를) \frac{5}{2}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-2\times \frac{5}{2}+\frac{5}{2}$$

-2에 \frac{5}{2}을(를) 곱합니다.

$$x=-5+\frac{5}{2}$$

\frac{5}{2}을(를) -5에 추가합니다.

$$x=-\frac{5}{2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{5}{2},y=\frac{5}{2}$$

행렬을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$x+y=0$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2x+4y=5,x+y=0$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-4}&-\frac{4}{2-4}\\-\frac{1}{2-4}&\frac{2}{2-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&2\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 5\\\frac{1}{2}\times 5\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-\frac{5}{2},y=\frac{5}{2}$$

소거를 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$x+y=0$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2x+4y=5,x+y=0$$

2x 및 x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$2x+4y=5,2x+2y=0$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 2x+4y=5에서 2x+2y=0을(를) 뺍니다.

$$2x-2x+4y-2y=5$$

2x을(를) -2x에 추가합니다. 2x 및 -2x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$4y-2y=5$$

4y을(를) -2y에 추가합니다.

$$2y=5$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{5}{2}$$

x+y=0에서 y을(를) \frac{5}{2}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x+\frac{5}{2}=0$$

수식의 양쪽에서 \frac{5}{2}을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{5}{2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{5}{2},y=\frac{5}{2}$$