다음을 풀어보세요: {l}{2x+3y=15}{5x+4y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 15 } \\ { 5 x + 4 y = 13 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-3$$

$$y=7$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2x+3y=15,5x+4y=13$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2x+3y=15$$

수식의 양쪽에서 3y을(를) 뺍니다.

$$2x=-3y+15$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+15\right)$$

\frac{1}{2}에 -3y+15을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}$$

다른 수식 5x+4y=13에서 \frac{-3y+15}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$5\left(-\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}\right)+4y=13$$

5에 \frac{-3y+15}{2}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{15}{2}y+\frac{75}{2}+4y=13$$

-\frac{15y}{2}을(를) 4y에 추가합니다.

$$-\frac{7}{2}y+\frac{75}{2}=13$$

수식의 양쪽에서 \frac{75}{2}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{7}{2}y=-\frac{49}{2}$$

수식의 양쪽을 -\frac{7}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=7$$

x=-\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}에서 y을(를) 7(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{3}{2}\times 7+\frac{15}{2}$$

-\frac{3}{2}에 7을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-21+15}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{15}{2}을(를) -\frac{21}{2}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-3,y=7$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2x+3y=15,5x+4y=13$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\13\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\13\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3\times 5}&-\frac{3}{2\times 4-3\times 5}\\-\frac{5}{2\times 4-3\times 5}&\frac{2}{2\times 4-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\13\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{5}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\13\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}\times 15+\frac{3}{7}\times 13\\\frac{5}{7}\times 15-\frac{2}{7}\times 13\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-3,y=7$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2x+3y=15,5x+4y=13$$

2x 및 5x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$5\times 2x+5\times 3y=5\times 15,2\times 5x+2\times 4y=2\times 13$$

단순화합니다.

$$10x+15y=75,10x+8y=26$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 10x+15y=75에서 10x+8y=26을(를) 뺍니다.

$$10x-10x+15y-8y=75-26$$

10x을(를) -10x에 추가합니다. 10x 및 -10x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$15y-8y=75-26$$

15y을(를) -8y에 추가합니다.

$$7y=75-26$$

75을(를) -26에 추가합니다.

$$7y=49$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$y=7$$

5x+4y=13에서 y을(를) 7(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$5x+4\times 7=13$$

4에 7을(를) 곱합니다.

$$5x+28=13$$

수식의 양쪽에서 28을(를) 뺍니다.

$$5x=-15$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=-3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-3,y=7$$