다음을 풀어보세요: {l}{2m-3n=-1}{m+n=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 m - 3 n = - 1 } \\ { m + n = 3 } \end{array} \right.$$

m, n에 대한 해

$$m = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

$$n = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1.4$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2m-3n=-1,m+n=3$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 m을(를) 고립시켜 m에 대한 해를 찾습니다.

$$2m-3n=-1$$

수식의 양쪽에 3n을(를) 더합니다.

$$2m=3n-1$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$m=\frac{1}{2}\left(3n-1\right)$$

\frac{1}{2}에 3n-1을(를) 곱합니다.

$$m=\frac{3}{2}n-\frac{1}{2}$$

다른 수식 m+n=3에서 \frac{3n-1}{2}을(를) m(으)로 치환합니다.

$$\frac{3}{2}n-\frac{1}{2}+n=3$$

\frac{3n}{2}을(를) n에 추가합니다.

$$\frac{5}{2}n-\frac{1}{2}=3$$

수식의 양쪽에 \frac{1}{2}을(를) 더합니다.

$$\frac{5}{2}n=\frac{7}{2}$$

수식의 양쪽을 \frac{5}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$n=\frac{7}{5}$$

m=\frac{3}{2}n-\frac{1}{2}에서 n을(를) \frac{7}{5}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 m에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$m=\frac{3}{2}\times \frac{7}{5}-\frac{1}{2}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{3}{2}에 \frac{7}{5}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$m=\frac{21}{10}-\frac{1}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{1}{2}을(를) \frac{21}{10}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$m=\frac{8}{5}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$m=\frac{8}{5},n=\frac{7}{5}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2m-3n=-1,m+n=3$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-1\right)+\frac{3}{5}\times 3\\-\frac{1}{5}\left(-1\right)+\frac{2}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\\\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 m 및 n을(를) 추출합니다.

$$m=\frac{8}{5},n=\frac{7}{5}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2m-3n=-1,m+n=3$$

2m 및 m을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$2m-3n=-1,2m+2n=2\times 3$$

단순화합니다.

$$2m-3n=-1,2m+2n=6$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 2m-3n=-1에서 2m+2n=6을(를) 뺍니다.

$$2m-2m-3n-2n=-1-6$$

2m을(를) -2m에 추가합니다. 2m 및 -2m이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-3n-2n=-1-6$$

-3n을(를) -2n에 추가합니다.

$$-5n=-1-6$$

-1을(를) -6에 추가합니다.

$$-5n=-7$$

양쪽을 -5(으)로 나눕니다.

$$n=\frac{7}{5}$$

m+n=3에서 n을(를) \frac{7}{5}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 m에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$m+\frac{7}{5}=3$$

수식의 양쪽에서 \frac{7}{5}을(를) 뺍니다.

$$m=\frac{8}{5}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$m=\frac{8}{5},n=\frac{7}{5}$$