다음을 풀어보세요: {l}{2bx+ay=2ab}{bx-ay=4ab}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 b x + a y = 2 a b } \\ { b x - a y = 4 a b } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해 (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2a\text{, }y=-2b\text{, }&\text{unconditionally}\\x=0\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&a=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=0\text{, }&b=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2bx+ay=2ab$$

수식의 양쪽에서 ay을(를) 뺍니다.

$$2bx=\left(-a\right)y+2ab$$

양쪽을 2b(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2b}\left(\left(-a\right)y+2ab\right)$$

\frac{1}{2b}에 a\left(-y+2b\right)을(를) 곱합니다.

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a$$

다른 수식 bx+\left(-a\right)y=4ab에서 a-\frac{ay}{2b}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$b\left(\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a\right)+\left(-a\right)y=4ab$$

b에 a-\frac{ay}{2b}을(를) 곱합니다.

$$\left(-\frac{a}{2}\right)y+ab+\left(-a\right)y=4ab$$

-\frac{ay}{2}을(를) -ay에 추가합니다.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y+ab=4ab$$

수식의 양쪽에서 ba을(를) 뺍니다.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y=3ab$$

양쪽을 -\frac{3a}{2}(으)로 나눕니다.

$$y=-2b$$

x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a에서 y을(를) -2b(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)\left(-2b\right)+a$$

-\frac{a}{2b}에 -2b을(를) 곱합니다.

$$x=a+a$$

a을(를) a에 추가합니다.

$$x=2a$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=2a,y=-2b$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}&-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}\\-\frac{b}{2b\left(-a\right)-ab}&\frac{2b}{2b\left(-a\right)-ab}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}&\frac{1}{3b}\\\frac{1}{3a}&-\frac{2}{3a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}\times 2ab+\frac{1}{3b}\times 4ab\\\frac{1}{3a}\times 2ab+\left(-\frac{2}{3a}\right)\times 4ab\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a\\-2b\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=2a,y=-2b$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

2bx 및 bx을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 b을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2b을(를) 곱합니다.

$$b\times 2bx+bay=b\times 2ab,2bbx+2b\left(-a\right)y=2b\times 4ab$$

단순화합니다.

$$2b^{2}x+aby=2ab^{2},2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2}$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 2b^{2}x+aby=2ab^{2}에서 2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2}을(를) 뺍니다.

$$2b^{2}x+\left(-2b^{2}\right)x+aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

2b^{2}x을(를) -2b^{2}x에 추가합니다. 2b^{2}x 및 -2b^{2}x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

bay을(를) 2bay에 추가합니다.

$$3aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

2ab^{2}을(를) -8ab^{2}에 추가합니다.

$$3aby=-6ab^{2}$$

양쪽을 3ba(으)로 나눕니다.

$$y=-2b$$

bx+\left(-a\right)y=4ab에서 y을(를) -2b(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$bx+\left(-a\right)\left(-2b\right)=4ab$$

-a에 -2b을(를) 곱합니다.

$$bx+2ab=4ab$$

수식의 양쪽에서 2ba을(를) 뺍니다.

$$bx=2ab$$

양쪽을 b(으)로 나눕니다.

$$x=2a$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=2a,y=-2b$$

x, y에 대한 해

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2a\text{, }y=-2b\text{, }&\text{unconditionally}\\x=0\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=0\text{, }&b=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2bx+ay=2ab$$

수식의 양쪽에서 ay을(를) 뺍니다.

$$2bx=\left(-a\right)y+2ab$$

양쪽을 2b(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2b}\left(\left(-a\right)y+2ab\right)$$

\frac{1}{2b}에 a\left(-y+2b\right)을(를) 곱합니다.

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a$$

다른 수식 bx+\left(-a\right)y=4ab에서 a-\frac{ay}{2b}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$b\left(\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a\right)+\left(-a\right)y=4ab$$

b에 a-\frac{ay}{2b}을(를) 곱합니다.

$$\left(-\frac{a}{2}\right)y+ab+\left(-a\right)y=4ab$$

-\frac{ay}{2}을(를) -ay에 추가합니다.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y+ab=4ab$$

수식의 양쪽에서 ba을(를) 뺍니다.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y=3ab$$

양쪽을 -\frac{3a}{2}(으)로 나눕니다.

$$y=-2b$$

x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a에서 y을(를) -2b(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)\left(-2b\right)+a$$

-\frac{a}{2b}에 -2b을(를) 곱합니다.

$$x=a+a$$

a을(를) a에 추가합니다.

$$x=2a$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=2a,y=-2b$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}&-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}\\-\frac{b}{2b\left(-a\right)-ab}&\frac{2b}{2b\left(-a\right)-ab}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}&\frac{1}{3b}\\\frac{1}{3a}&-\frac{2}{3a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}\times 2ab+\frac{1}{3b}\times 4ab\\\frac{1}{3a}\times 2ab+\left(-\frac{2}{3a}\right)\times 4ab\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a\\-2b\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=2a,y=-2b$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

2bx 및 bx을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 b을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2b을(를) 곱합니다.

$$b\times 2bx+bay=b\times 2ab,2bbx+2b\left(-a\right)y=2b\times 4ab$$

단순화합니다.

$$2b^{2}x+aby=2ab^{2},2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2}$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 2b^{2}x+aby=2ab^{2}에서 2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2}을(를) 뺍니다.

$$2b^{2}x+\left(-2b^{2}\right)x+aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

2b^{2}x을(를) -2b^{2}x에 추가합니다. 2b^{2}x 및 -2b^{2}x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

bay을(를) 2bay에 추가합니다.

$$3aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

2ab^{2}을(를) -8ab^{2}에 추가합니다.

$$3aby=-6ab^{2}$$

양쪽을 3ba(으)로 나눕니다.

$$y=-2b$$

bx+\left(-a\right)y=4ab에서 y을(를) -2b(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$bx+\left(-a\right)\left(-2b\right)=4ab$$

-a에 -2b을(를) 곱합니다.

$$bx+2ab=4ab$$

수식의 양쪽에서 2ba을(를) 뺍니다.

$$bx=2ab$$

양쪽을 b(으)로 나눕니다.

$$x=2a$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=2a,y=-2b$$