다음을 풀어보세요: {l}{2a+b=8}{3a+2b=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 a + b = 8 } \\ { 3 a + 2 b = 13 } \end{array} \right.$$

a, b에 대한 해

$$a=3$$

$$b=2$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2a+b=8,3a+2b=13$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 a을(를) 고립시켜 a에 대한 해를 찾습니다.

$$2a+b=8$$

수식의 양쪽에서 b을(를) 뺍니다.

$$2a=-b+8$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$a=\frac{1}{2}\left(-b+8\right)$$

\frac{1}{2}에 -b+8을(를) 곱합니다.

$$a=-\frac{1}{2}b+4$$

다른 수식 3a+2b=13에서 -\frac{b}{2}+4을(를) a(으)로 치환합니다.

$$3\left(-\frac{1}{2}b+4\right)+2b=13$$

3에 -\frac{b}{2}+4을(를) 곱합니다.

$$-\frac{3}{2}b+12+2b=13$$

-\frac{3b}{2}을(를) 2b에 추가합니다.

$$\frac{1}{2}b+12=13$$

수식의 양쪽에서 12을(를) 뺍니다.

$$\frac{1}{2}b=1$$

양쪽에 2을(를) 곱합니다.

$$b=2$$

a=-\frac{1}{2}b+4에서 b을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$a=-\frac{1}{2}\times 2+4$$

-\frac{1}{2}에 2을(를) 곱합니다.

$$a=-1+4$$

4을(를) -1에 추가합니다.

$$a=3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=3,b=2$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2a+b=8,3a+2b=13$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\13\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\13\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{1}{2\times 2-3}\\-\frac{3}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\13\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\13\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 8-13\\-3\times 8+2\times 13\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 a 및 b을(를) 추출합니다.

$$a=3,b=2$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2a+b=8,3a+2b=13$$

2a 및 3a을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$3\times 2a+3b=3\times 8,2\times 3a+2\times 2b=2\times 13$$

단순화합니다.

$$6a+3b=24,6a+4b=26$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 6a+3b=24에서 6a+4b=26을(를) 뺍니다.

$$6a-6a+3b-4b=24-26$$

6a을(를) -6a에 추가합니다. 6a 및 -6a이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$3b-4b=24-26$$

3b을(를) -4b에 추가합니다.

$$-b=24-26$$

24을(를) -26에 추가합니다.

$$-b=-2$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$b=2$$

3a+2b=13에서 b을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3a+2\times 2=13$$

2에 2을(를) 곱합니다.

$$3a+4=13$$

수식의 양쪽에서 4을(를) 뺍니다.

$$3a=9$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$a=3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=3,b=2$$