다음을 풀어보세요: {l}{13x+20y=48}{20x+93y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 13 x + 20 y = 48 } \\ { 20 x + 93 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{4444}{809} = 5\frac{399}{809} \approx 5.493201483$$

$$y = -\frac{947}{809} = -1\frac{138}{809} \approx -1.170580964$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$13x+20y=48$$

수식의 양쪽에서 20y을(를) 뺍니다.

$$13x=-20y+48$$

양쪽을 13(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{13}\left(-20y+48\right)$$

\frac{1}{13}에 -20y+48을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}$$

다른 수식 20x+93y=1에서 \frac{-20y+48}{13}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$20\left(-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}\right)+93y=1$$

20에 \frac{-20y+48}{13}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{400}{13}y+\frac{960}{13}+93y=1$$

-\frac{400y}{13}을(를) 93y에 추가합니다.

$$\frac{809}{13}y+\frac{960}{13}=1$$

수식의 양쪽에서 \frac{960}{13}을(를) 뺍니다.

$$\frac{809}{13}y=-\frac{947}{13}$$

수식의 양쪽을 \frac{809}{13}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-\frac{947}{809}$$

x=-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}에서 y을(를) -\frac{947}{809}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{20}{13}\left(-\frac{947}{809}\right)+\frac{48}{13}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{20}{13}에 -\frac{947}{809}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{18940}{10517}+\frac{48}{13}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{48}{13}을(를) \frac{18940}{10517}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{4444}{809}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)에 대해 역행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬 수식은 행렬 곱 문제로 다시 쓸 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{13\times 93-20\times 20}&-\frac{20}{13\times 93-20\times 20}\\-\frac{20}{13\times 93-20\times 20}&\frac{13}{13\times 93-20\times 20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{809}&-\frac{20}{809}\\-\frac{20}{809}&\frac{13}{809}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{809}\times 48-\frac{20}{809}\\-\frac{20}{809}\times 48+\frac{13}{809}\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4444}{809}\\-\frac{947}{809}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

13x 및 20x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 20을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 13을(를) 곱합니다.

$$20\times 13x+20\times 20y=20\times 48,13\times 20x+13\times 93y=13$$

단순화합니다.

$$260x+400y=960,260x+1209y=13$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 260x+400y=960에서 260x+1209y=13을(를) 뺍니다.

$$260x-260x+400y-1209y=960-13$$

260x을(를) -260x에 추가합니다. 260x 및 -260x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$400y-1209y=960-13$$

400y을(를) -1209y에 추가합니다.

$$-809y=960-13$$

960을(를) -13에 추가합니다.

$$-809y=947$$

양쪽을 -809(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{947}{809}$$

20x+93y=1에서 y을(를) -\frac{947}{809}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$20x+93\left(-\frac{947}{809}\right)=1$$

93에 -\frac{947}{809}을(를) 곱합니다.

$$20x-\frac{88071}{809}=1$$

수식의 양쪽에 \frac{88071}{809}을(를) 더합니다.

$$20x=\frac{88880}{809}$$

양쪽을 20(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{4444}{809}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$