다음을 풀어보세요: {l}{12x+4y=6}{9x+16y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 x + 4 y = 6 } \\ { 9 x + 16 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=\frac{16}{39}\approx 0.41025641$$

$$y=\frac{7}{26}\approx 0.269230769$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$12x+4y=6$$

수식의 양쪽에서 4y을(를) 뺍니다.

$$12x=-4y+6$$

양쪽을 12(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{12}\left(-4y+6\right)$$

\frac{1}{12}에 -4y+6을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}$$

다른 수식 9x+16y=8에서 -\frac{y}{3}+\frac{1}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$9\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}\right)+16y=8$$

9에 -\frac{y}{3}+\frac{1}{2}을(를) 곱합니다.

$$-3y+\frac{9}{2}+16y=8$$

-3y을(를) 16y에 추가합니다.

$$13y+\frac{9}{2}=8$$

수식의 양쪽에서 \frac{9}{2}을(를) 뺍니다.

$$13y=\frac{7}{2}$$

양쪽을 13(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{7}{26}$$

x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}에서 y을(를) \frac{7}{26}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{7}{26}+\frac{1}{2}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{1}{3}에 \frac{7}{26}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{7}{78}+\frac{1}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{1}{2}을(를) -\frac{7}{78}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{16}{39}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{12\times 16-4\times 9}&-\frac{4}{12\times 16-4\times 9}\\-\frac{9}{12\times 16-4\times 9}&\frac{12}{12\times 16-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&-\frac{1}{39}\\-\frac{3}{52}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 6-\frac{1}{39}\times 8\\-\frac{3}{52}\times 6+\frac{1}{13}\times 8\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{39}\\\frac{7}{26}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

12x 및 9x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 9을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 12을(를) 곱합니다.

$$9\times 12x+9\times 4y=9\times 6,12\times 9x+12\times 16y=12\times 8$$

단순화합니다.

$$108x+36y=54,108x+192y=96$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 108x+36y=54에서 108x+192y=96을(를) 뺍니다.

$$108x-108x+36y-192y=54-96$$

108x을(를) -108x에 추가합니다. 108x 및 -108x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$36y-192y=54-96$$

36y을(를) -192y에 추가합니다.

$$-156y=54-96$$

54을(를) -96에 추가합니다.

$$-156y=-42$$

양쪽을 -156(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{7}{26}$$

9x+16y=8에서 y을(를) \frac{7}{26}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$9x+16\times \frac{7}{26}=8$$

16에 \frac{7}{26}을(를) 곱합니다.

$$9x+\frac{56}{13}=8$$

수식의 양쪽에서 \frac{56}{13}을(를) 뺍니다.

$$9x=\frac{48}{13}$$

양쪽을 9(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{16}{39}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$