다음을 풀어보세요: {l}{12x+3y=5}{3x+2y=70}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 70 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = -\frac{40}{3} = -13\frac{1}{3} \approx -13.333333333$$

$$y=55$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$12x+3y=5,3x+2y=70$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$12x+3y=5$$

수식의 양쪽에서 3y을(를) 뺍니다.

$$12x=-3y+5$$

양쪽을 12(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{12}\left(-3y+5\right)$$

\frac{1}{12}에 -3y+5을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}$$

다른 수식 3x+2y=70에서 -\frac{y}{4}+\frac{5}{12}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$3\left(-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}\right)+2y=70$$

3에 -\frac{y}{4}+\frac{5}{12}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}+2y=70$$

-\frac{3y}{4}을(를) 2y에 추가합니다.

$$\frac{5}{4}y+\frac{5}{4}=70$$

수식의 양쪽에서 \frac{5}{4}을(를) 뺍니다.

$$\frac{5}{4}y=\frac{275}{4}$$

수식의 양쪽을 \frac{5}{4}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=55$$

x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}에서 y을(를) 55(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{4}\times 55+\frac{5}{12}$$

-\frac{1}{4}에 55을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{55}{4}+\frac{5}{12}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{5}{12}을(를) -\frac{55}{4}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{40}{3}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{40}{3},y=55$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$12x+3y=5,3x+2y=70$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{12\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{12\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{12\times 2-3\times 3}&\frac{12}{12\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}\times 5-\frac{1}{5}\times 70\\-\frac{1}{5}\times 5+\frac{4}{5}\times 70\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{40}{3}\\55\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-\frac{40}{3},y=55$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$12x+3y=5,3x+2y=70$$

12x 및 3x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 12을(를) 곱합니다.

$$3\times 12x+3\times 3y=3\times 5,12\times 3x+12\times 2y=12\times 70$$

단순화합니다.

$$36x+9y=15,36x+24y=840$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 36x+9y=15에서 36x+24y=840을(를) 뺍니다.

$$36x-36x+9y-24y=15-840$$

36x을(를) -36x에 추가합니다. 36x 및 -36x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$9y-24y=15-840$$

9y을(를) -24y에 추가합니다.

$$-15y=15-840$$

15을(를) -840에 추가합니다.

$$-15y=-825$$

양쪽을 -15(으)로 나눕니다.

$$y=55$$

3x+2y=70에서 y을(를) 55(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3x+2\times 55=70$$

2에 55을(를) 곱합니다.

$$3x+110=70$$

수식의 양쪽에서 110을(를) 뺍니다.

$$3x=-40$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{40}{3}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{40}{3},y=55$$