다음을 풀어보세요: {l}{12a+4b=-4}{3a-9b=-21}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 a + 4 b = - 4 } \\ { 3 a - 9 b = - 21 } \end{array} \right.$$

a, b에 대한 해

$$a=-1$$

$$b=2$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 a을(를) 고립시켜 a에 대한 해를 찾습니다.

$$12a+4b=-4$$

수식의 양쪽에서 4b을(를) 뺍니다.

$$12a=-4b-4$$

양쪽을 12(으)로 나눕니다.

$$a=\frac{1}{12}\left(-4b-4\right)$$

\frac{1}{12}에 -4b-4을(를) 곱합니다.

$$a=-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}$$

다른 수식 3a-9b=-21에서 \frac{-b-1}{3}을(를) a(으)로 치환합니다.

$$3\left(-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}\right)-9b=-21$$

3에 \frac{-b-1}{3}을(를) 곱합니다.

$$-b-1-9b=-21$$

-b을(를) -9b에 추가합니다.

$$-10b-1=-21$$

수식의 양쪽에 1을(를) 더합니다.

$$-10b=-20$$

양쪽을 -10(으)로 나눕니다.

$$b=2$$

a=-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}에서 b을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$a=-\frac{1}{3}\times 2-\frac{1}{3}$$

-\frac{1}{3}에 2을(를) 곱합니다.

$$a=\frac{-2-1}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{1}{3}을(를) -\frac{2}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$a=-1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=-1,b=2$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{12\left(-9\right)-4\times 3}&-\frac{4}{12\left(-9\right)-4\times 3}\\-\frac{3}{12\left(-9\right)-4\times 3}&\frac{12}{12\left(-9\right)-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{40}&\frac{1}{30}\\\frac{1}{40}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{40}\left(-4\right)+\frac{1}{30}\left(-21\right)\\\frac{1}{40}\left(-4\right)-\frac{1}{10}\left(-21\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 a 및 b을(를) 추출합니다.

$$a=-1,b=2$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

12a 및 3a을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 12을(를) 곱합니다.

$$3\times 12a+3\times 4b=3\left(-4\right),12\times 3a+12\left(-9\right)b=12\left(-21\right)$$

단순화합니다.

$$36a+12b=-12,36a-108b=-252$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 36a+12b=-12에서 36a-108b=-252을(를) 뺍니다.

$$36a-36a+12b+108b=-12+252$$

36a을(를) -36a에 추가합니다. 36a 및 -36a이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$12b+108b=-12+252$$

12b을(를) 108b에 추가합니다.

$$120b=-12+252$$

-12을(를) 252에 추가합니다.

$$120b=240$$

양쪽을 120(으)로 나눕니다.

$$b=2$$

3a-9b=-21에서 b을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3a-9\times 2=-21$$

-9에 2을(를) 곱합니다.

$$3a-18=-21$$

수식의 양쪽에 18을(를) 더합니다.

$$3a=-3$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$a=-1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=-1,b=2$$