다음을 풀어보세요: {l}{10x+2y=50}{7x+2y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { 10 x + 2 y = 50 } \\ { 7 x + 2 y = 20 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=10$$

$$y=-25$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$10x+2y=50,7x+2y=20$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$10x+2y=50$$

수식의 양쪽에서 2y을(를) 뺍니다.

$$10x=-2y+50$$

양쪽을 10(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{10}\left(-2y+50\right)$$

\frac{1}{10}에 -2y+50을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{5}y+5$$

다른 수식 7x+2y=20에서 -\frac{y}{5}+5을(를) x(으)로 치환합니다.

$$7\left(-\frac{1}{5}y+5\right)+2y=20$$

7에 -\frac{y}{5}+5을(를) 곱합니다.

$$-\frac{7}{5}y+35+2y=20$$

-\frac{7y}{5}을(를) 2y에 추가합니다.

$$\frac{3}{5}y+35=20$$

수식의 양쪽에서 35을(를) 뺍니다.

$$\frac{3}{5}y=-15$$

수식의 양쪽을 \frac{3}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-25$$

x=-\frac{1}{5}y+5에서 y을(를) -25(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-25\right)+5$$

-\frac{1}{5}에 -25을(를) 곱합니다.

$$x=5+5$$

5을(를) 5에 추가합니다.

$$x=10$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=10,y=-25$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$10x+2y=50,7x+2y=20$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{10\times 2-2\times 7}&-\frac{2}{10\times 2-2\times 7}\\-\frac{7}{10\times 2-2\times 7}&\frac{10}{10\times 2-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{7}{6}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 50-\frac{1}{3}\times 20\\-\frac{7}{6}\times 50+\frac{5}{3}\times 20\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-25\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=10,y=-25$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$10x+2y=50,7x+2y=20$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 10x+2y=50에서 7x+2y=20을(를) 뺍니다.

$$10x-7x+2y-2y=50-20$$

2y을(를) -2y에 추가합니다. 2y 및 -2y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$10x-7x=50-20$$

10x을(를) -7x에 추가합니다.

$$3x=50-20$$

50을(를) -20에 추가합니다.

$$3x=30$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=10$$

7x+2y=20에서 x을(를) 10(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$7\times 10+2y=20$$

7에 10을(를) 곱합니다.

$$70+2y=20$$

수식의 양쪽에서 70을(를) 뺍니다.

$$2y=-50$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$y=-25$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=10,y=-25$$