다음을 풀어보세요: {l}{1x+4y=280}{4x+1y=124}

$$\left. \begin{array} { l } { 1 x + 4 y = 280 } \\ { 4 x + 1 y = 124 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{72}{5} = 14\frac{2}{5} = 14.4$$

$$y = \frac{332}{5} = 66\frac{2}{5} = 66.4$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x+4y=280,4x+y=124$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x+4y=280$$

수식의 양쪽에서 4y을(를) 뺍니다.

$$x=-4y+280$$

다른 수식 4x+y=124에서 -4y+280을(를) x(으)로 치환합니다.

$$4\left(-4y+280\right)+y=124$$

4에 -4y+280을(를) 곱합니다.

$$-16y+1120+y=124$$

-16y을(를) y에 추가합니다.

$$-15y+1120=124$$

수식의 양쪽에서 1120을(를) 뺍니다.

$$-15y=-996$$

양쪽을 -15(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{332}{5}$$

x=-4y+280에서 y을(를) \frac{332}{5}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-4\times \frac{332}{5}+280$$

-4에 \frac{332}{5}을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1328}{5}+280$$

280을(를) -\frac{1328}{5}에 추가합니다.

$$x=\frac{72}{5}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{72}{5},y=\frac{332}{5}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x+4y=280,4x+y=124$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-4\times 4}&-\frac{4}{1-4\times 4}\\-\frac{4}{1-4\times 4}&\frac{1}{1-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{4}{15}\\\frac{4}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\times 280+\frac{4}{15}\times 124\\\frac{4}{15}\times 280-\frac{1}{15}\times 124\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{72}{5}\\\frac{332}{5}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{72}{5},y=\frac{332}{5}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x+4y=280,4x+y=124$$

x 및 4x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$4x+4\times 4y=4\times 280,4x+y=124$$

단순화합니다.

$$4x+16y=1120,4x+y=124$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 4x+16y=1120에서 4x+y=124을(를) 뺍니다.

$$4x-4x+16y-y=1120-124$$

4x을(를) -4x에 추가합니다. 4x 및 -4x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$16y-y=1120-124$$

16y을(를) -y에 추가합니다.

$$15y=1120-124$$

1120을(를) -124에 추가합니다.

$$15y=996$$

양쪽을 15(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{332}{5}$$

4x+y=124에서 y을(를) \frac{332}{5}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$4x+\frac{332}{5}=124$$

수식의 양쪽에서 \frac{332}{5}을(를) 뺍니다.

$$4x=\frac{288}{5}$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{72}{5}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{72}{5},y=\frac{332}{5}$$