다음을 풀어보세요: {l}{1=a+b}{1=3a-b}

$$\left. \begin{array} { l } { 1 = a + b } \\ { 1 = 3 a - b } \end{array} \right.$$

a, b에 대한 해

$$a=\frac{1}{2}=0.5$$

$$b=\frac{1}{2}=0.5$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 모든 변수 항이 왼쪽에 오도록 위치를 바꿉니다.

$$a+b=1$$

두 번째 수식을 검토합니다. 모든 변수 항이 왼쪽에 오도록 위치를 바꿉니다.

$$3a-b=1$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$a+b=1,3a-b=1$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 a을(를) 고립시켜 a에 대한 해를 찾습니다.

$$a+b=1$$

수식의 양쪽에서 b을(를) 뺍니다.

$$a=-b+1$$

다른 수식 3a-b=1에서 -b+1을(를) a(으)로 치환합니다.

$$3\left(-b+1\right)-b=1$$

3에 -b+1을(를) 곱합니다.

$$-3b+3-b=1$$

-3b을(를) -b에 추가합니다.

$$-4b+3=1$$

수식의 양쪽에서 3을(를) 뺍니다.

$$-4b=-2$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$b=\frac{1}{2}$$

a=-b+1에서 b을(를) \frac{1}{2}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$a=-\frac{1}{2}+1$$

1을(를) -\frac{1}{2}에 추가합니다.

$$a=\frac{1}{2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=\frac{1}{2},b=\frac{1}{2}$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 모든 변수 항이 왼쪽에 오도록 위치를 바꿉니다.

$$a+b=1$$

두 번째 수식을 검토합니다. 모든 변수 항이 왼쪽에 오도록 위치를 바꿉니다.

$$3a-b=1$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$a+b=1,3a-b=1$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-3}&-\frac{1}{-1-3}\\-\frac{3}{-1-3}&\frac{1}{-1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1+1}{4}\\\frac{3-1}{4}\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 a 및 b을(를) 추출합니다.

$$a=\frac{1}{2},b=\frac{1}{2}$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 모든 변수 항이 왼쪽에 오도록 위치를 바꿉니다.

$$a+b=1$$

두 번째 수식을 검토합니다. 모든 변수 항이 왼쪽에 오도록 위치를 바꿉니다.

$$3a-b=1$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$a+b=1,3a-b=1$$

a 및 3a을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$3a+3b=3,3a-b=1$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 3a+3b=3에서 3a-b=1을(를) 뺍니다.

$$3a-3a+3b+b=3-1$$

3a을(를) -3a에 추가합니다. 3a 및 -3a이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$3b+b=3-1$$

3b을(를) b에 추가합니다.

$$4b=3-1$$

3을(를) -1에 추가합니다.

$$4b=2$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$b=\frac{1}{2}$$

3a-b=1에서 b을(를) \frac{1}{2}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3a-\frac{1}{2}=1$$

수식의 양쪽에 \frac{1}{2}을(를) 더합니다.

$$3a=\frac{3}{2}$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$a=\frac{1}{2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=\frac{1}{2},b=\frac{1}{2}$$