다음을 풀어보세요: {l}{0.5x+y=9}{1.6x+0.2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.5 x + y = 9 } \\ { 1.6 x + 0.2 y = 13 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{112}{15} = 7\frac{7}{15} \approx 7.466666667$$

$$y = \frac{79}{15} = 5\frac{4}{15} \approx 5.266666667$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$0.5x+y=9$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$0.5x=-y+9$$

양쪽에 2을(를) 곱합니다.

$$x=2\left(-y+9\right)$$

2에 -y+9을(를) 곱합니다.

$$x=-2y+18$$

다른 수식 1.6x+0.2y=13에서 -2y+18을(를) x(으)로 치환합니다.

$$1.6\left(-2y+18\right)+0.2y=13$$

1.6에 -2y+18을(를) 곱합니다.

$$-3.2y+28.8+0.2y=13$$

-\frac{16y}{5}을(를) \frac{y}{5}에 추가합니다.

$$-3y+28.8=13$$

수식의 양쪽에서 28.8을(를) 뺍니다.

$$-3y=-15.8$$

양쪽을 -3(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{79}{15}$$

x=-2y+18에서 y을(를) \frac{79}{15}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-2\times \frac{79}{15}+18$$

-2에 \frac{79}{15}을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{158}{15}+18$$

18을(를) -\frac{158}{15}에 추가합니다.

$$x=\frac{112}{15}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{0.5\times 0.2-1.6}&-\frac{1}{0.5\times 0.2-1.6}\\-\frac{1.6}{0.5\times 0.2-1.6}&\frac{0.5}{0.5\times 0.2-1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}&\frac{2}{3}\\\frac{16}{15}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}\times 9+\frac{2}{3}\times 13\\\frac{16}{15}\times 9-\frac{1}{3}\times 13\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{112}{15}\\\frac{79}{15}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

\frac{x}{2} 및 \frac{8x}{5}을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1.6을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 0.5을(를) 곱합니다.

$$1.6\times 0.5x+1.6y=1.6\times 9,0.5\times 1.6x+0.5\times 0.2y=0.5\times 13$$

단순화합니다.

$$0.8x+1.6y=14.4,0.8x+0.1y=6.5$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 0.8x+1.6y=14.4에서 0.8x+0.1y=6.5을(를) 뺍니다.

$$0.8x-0.8x+1.6y-0.1y=14.4-6.5$$

\frac{4x}{5}을(를) -\frac{4x}{5}에 추가합니다. \frac{4x}{5} 및 -\frac{4x}{5}이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$1.6y-0.1y=14.4-6.5$$

\frac{8y}{5}을(를) -\frac{y}{10}에 추가합니다.

$$1.5y=14.4-6.5$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 14.4을(를) -6.5에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$1.5y=7.9$$

수식의 양쪽을 1.5(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{79}{15}$$

1.6x+0.2y=13에서 y을(를) \frac{79}{15}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$1.6x+0.2\times \frac{79}{15}=13$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 0.2에 \frac{79}{15}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$1.6x+\frac{79}{75}=13$$

수식의 양쪽에서 \frac{79}{75}을(를) 뺍니다.

$$1.6x=\frac{896}{75}$$

수식의 양쪽을 1.6(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$x=\frac{112}{15}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$