다음을 풀어보세요: {l}{-x-5y=11}{2x+y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 5 y = 11 } \\ { 2 x + y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{56}{9} = 6\frac{2}{9} \approx 6.222222222$$

$$y = -\frac{31}{9} = -3\frac{4}{9} \approx -3.444444444$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-x-5y=11,2x+y=9$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$-x-5y=11$$

수식의 양쪽에 5y을(를) 더합니다.

$$-x=5y+11$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$x=-\left(5y+11\right)$$

-1에 5y+11을(를) 곱합니다.

$$x=-5y-11$$

다른 수식 2x+y=9에서 -5y-11을(를) x(으)로 치환합니다.

$$2\left(-5y-11\right)+y=9$$

2에 -5y-11을(를) 곱합니다.

$$-10y-22+y=9$$

-10y을(를) y에 추가합니다.

$$-9y-22=9$$

수식의 양쪽에 22을(를) 더합니다.

$$-9y=31$$

양쪽을 -9(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{31}{9}$$

x=-5y-11에서 y을(를) -\frac{31}{9}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-5\left(-\frac{31}{9}\right)-11$$

-5에 -\frac{31}{9}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{155}{9}-11$$

-11을(를) \frac{155}{9}에 추가합니다.

$$x=\frac{56}{9}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{56}{9},y=-\frac{31}{9}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-x-5y=11,2x+y=9$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{-1-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{-1-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{1}{-1-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{5}{9}\\-\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 11+\frac{5}{9}\times 9\\-\frac{2}{9}\times 11-\frac{1}{9}\times 9\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{56}{9}\\-\frac{31}{9}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{56}{9},y=-\frac{31}{9}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-x-5y=11,2x+y=9$$

-x 및 2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -1을(를) 곱합니다.

$$2\left(-1\right)x+2\left(-5\right)y=2\times 11,-2x-y=-9$$

단순화합니다.

$$-2x-10y=22,-2x-y=-9$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -2x-10y=22에서 -2x-y=-9을(를) 뺍니다.

$$-2x+2x-10y+y=22+9$$

-2x을(를) 2x에 추가합니다. -2x 및 2x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-10y+y=22+9$$

-10y을(를) y에 추가합니다.

$$-9y=22+9$$

22을(를) 9에 추가합니다.

$$-9y=31$$

양쪽을 -9(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{31}{9}$$

2x+y=9에서 y을(를) -\frac{31}{9}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2x-\frac{31}{9}=9$$

수식의 양쪽에 \frac{31}{9}을(를) 더합니다.

$$2x=\frac{112}{9}$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{56}{9}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{56}{9},y=-\frac{31}{9}$$