다음을 풀어보세요: {l}{-x+5y=-1}{+x+2y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + 5 y = - 1 } \\ { + x + 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{27}{7} = 3\frac{6}{7} \approx 3.857142857$$

$$y=\frac{4}{7}\approx 0.571428571$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-x+5y=-1,x+2y=5$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$-x+5y=-1$$

수식의 양쪽에서 5y을(를) 뺍니다.

$$-x=-5y-1$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$x=-\left(-5y-1\right)$$

-1에 -5y-1을(를) 곱합니다.

$$x=5y+1$$

다른 수식 x+2y=5에서 5y+1을(를) x(으)로 치환합니다.

$$5y+1+2y=5$$

5y을(를) 2y에 추가합니다.

$$7y+1=5$$

수식의 양쪽에서 1을(를) 뺍니다.

$$7y=4$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{4}{7}$$

x=5y+1에서 y을(를) \frac{4}{7}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=5\times \frac{4}{7}+1$$

5에 \frac{4}{7}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{20}{7}+1$$

1을(를) \frac{20}{7}에 추가합니다.

$$x=\frac{27}{7}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{27}{7},y=\frac{4}{7}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-x+5y=-1,x+2y=5$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-5}&-\frac{5}{-2-5}\\-\frac{1}{-2-5}&-\frac{1}{-2-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\left(-1\right)+\frac{5}{7}\times 5\\\frac{1}{7}\left(-1\right)+\frac{1}{7}\times 5\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{7}\\\frac{4}{7}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{27}{7},y=\frac{4}{7}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-x+5y=-1,x+2y=5$$

-x 및 x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -1을(를) 곱합니다.

$$-x+5y=-1,-x-2y=-5$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -x+5y=-1에서 -x-2y=-5을(를) 뺍니다.

$$-x+x+5y+2y=-1+5$$

-x을(를) x에 추가합니다. -x 및 x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$5y+2y=-1+5$$

5y을(를) 2y에 추가합니다.

$$7y=-1+5$$

-1을(를) 5에 추가합니다.

$$7y=4$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{4}{7}$$

x+2y=5에서 y을(를) \frac{4}{7}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x+2\times \frac{4}{7}=5$$

2에 \frac{4}{7}을(를) 곱합니다.

$$x+\frac{8}{7}=5$$

수식의 양쪽에서 \frac{8}{7}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{27}{7}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{27}{7},y=\frac{4}{7}$$