다음을 풀어보세요: {l}{-x+3/4y=7}{4x-y=-16}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + \frac { 3 } { 4 } y = 7 } \\ { 4 x - y = - 16 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y=6$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-x+\frac{3}{4}y=7,4x-y=-16$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$-x+\frac{3}{4}y=7$$

수식의 양쪽에서 \frac{3y}{4}을(를) 뺍니다.

$$-x=-\frac{3}{4}y+7$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$x=-\left(-\frac{3}{4}y+7\right)$$

-1에 -\frac{3y}{4}+7을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{3}{4}y-7$$

다른 수식 4x-y=-16에서 \frac{3y}{4}-7을(를) x(으)로 치환합니다.

$$4\left(\frac{3}{4}y-7\right)-y=-16$$

4에 \frac{3y}{4}-7을(를) 곱합니다.

$$3y-28-y=-16$$

3y을(를) -y에 추가합니다.

$$2y-28=-16$$

수식의 양쪽에 28을(를) 더합니다.

$$2y=12$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$y=6$$

x=\frac{3}{4}y-7에서 y을(를) 6(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{3}{4}\times 6-7$$

\frac{3}{4}에 6을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{9}{2}-7$$

-7을(를) \frac{9}{2}에 추가합니다.

$$x=-\frac{5}{2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{5}{2},y=6$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-x+\frac{3}{4}y=7,4x-y=-16$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-\left(-1\right)-\frac{3}{4}\times 4}&-\frac{\frac{3}{4}}{-\left(-1\right)-\frac{3}{4}\times 4}\\-\frac{4}{-\left(-1\right)-\frac{3}{4}\times 4}&-\frac{1}{-\left(-1\right)-\frac{3}{4}\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{3}{8}\\2&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 7+\frac{3}{8}\left(-16\right)\\2\times 7+\frac{1}{2}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\6\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-\frac{5}{2},y=6$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-x+\frac{3}{4}y=7,4x-y=-16$$

-x 및 4x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -1을(를) 곱합니다.

$$4\left(-1\right)x+4\times \frac{3}{4}y=4\times 7,-4x-\left(-y\right)=-\left(-16\right)$$

단순화합니다.

$$-4x+3y=28,-4x+y=16$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -4x+3y=28에서 -4x+y=16을(를) 뺍니다.

$$-4x+4x+3y-y=28-16$$

-4x을(를) 4x에 추가합니다. -4x 및 4x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$3y-y=28-16$$

3y을(를) -y에 추가합니다.

$$2y=28-16$$

28을(를) -16에 추가합니다.

$$2y=12$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$y=6$$

4x-y=-16에서 y을(를) 6(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$4x-6=-16$$

수식의 양쪽에 6을(를) 더합니다.

$$4x=-10$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{5}{2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{5}{2},y=6$$