다음을 풀어보세요: {l}{-9x-y=-3}{-8x+2y=-20}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x - y = - 3 } \\ { - 8 x + 2 y = - 20 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=1$$

$$y=-6$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-9x-y=-3,-8x+2y=-20$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$-9x-y=-3$$

수식의 양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$-9x=y-3$$

양쪽을 -9(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{1}{9}\left(y-3\right)$$

-\frac{1}{9}에 y-3을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{9}y+\frac{1}{3}$$

다른 수식 -8x+2y=-20에서 -\frac{y}{9}+\frac{1}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-8\left(-\frac{1}{9}y+\frac{1}{3}\right)+2y=-20$$

-8에 -\frac{y}{9}+\frac{1}{3}을(를) 곱합니다.

$$\frac{8}{9}y-\frac{8}{3}+2y=-20$$

\frac{8y}{9}을(를) 2y에 추가합니다.

$$\frac{26}{9}y-\frac{8}{3}=-20$$

수식의 양쪽에 \frac{8}{3}을(를) 더합니다.

$$\frac{26}{9}y=-\frac{52}{3}$$

수식의 양쪽을 \frac{26}{9}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-6$$

x=-\frac{1}{9}y+\frac{1}{3}에서 y을(를) -6(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{9}\left(-6\right)+\frac{1}{3}$$

-\frac{1}{9}에 -6을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{2+1}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{1}{3}을(를) \frac{2}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1,y=-6$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-9x-y=-3,-8x+2y=-20$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}&-\frac{-1}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}\\-\frac{-8}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}&-\frac{9}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&-\frac{1}{26}\\-\frac{4}{13}&\frac{9}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\left(-3\right)-\frac{1}{26}\left(-20\right)\\-\frac{4}{13}\left(-3\right)+\frac{9}{26}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-6\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=1,y=-6$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-9x-y=-3,-8x+2y=-20$$

-9x 및 -8x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -8을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -9을(를) 곱합니다.

$$-8\left(-9\right)x-8\left(-1\right)y=-8\left(-3\right),-9\left(-8\right)x-9\times 2y=-9\left(-20\right)$$

단순화합니다.

$$72x+8y=24,72x-18y=180$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 72x+8y=24에서 72x-18y=180을(를) 뺍니다.

$$72x-72x+8y+18y=24-180$$

72x을(를) -72x에 추가합니다. 72x 및 -72x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$8y+18y=24-180$$

8y을(를) 18y에 추가합니다.

$$26y=24-180$$

24을(를) -180에 추가합니다.

$$26y=-156$$

양쪽을 26(으)로 나눕니다.

$$y=-6$$

-8x+2y=-20에서 y을(를) -6(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-8x+2\left(-6\right)=-20$$

2에 -6을(를) 곱합니다.

$$-8x-12=-20$$

수식의 양쪽에 12을(를) 더합니다.

$$-8x=-8$$

양쪽을 -8(으)로 나눕니다.

$$x=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1,y=-6$$