다음을 풀어보세요: {l}{-9x+6y=13}{cx+8y=-12}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x + 6 y = 13 } \\ { c x + 8 y = - 12 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

$$y=-\frac{108-13c}{6\left(c+12\right)}$$

$$c\neq -12$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$-9x+6y=13$$

수식의 양쪽에서 6y을(를) 뺍니다.

$$-9x=-6y+13$$

양쪽을 -9(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{1}{9}\left(-6y+13\right)$$

-\frac{1}{9}에 -6y+13을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}$$

다른 수식 cx+8y=-12에서 \frac{2y}{3}-\frac{13}{9}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$c\left(\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}\right)+8y=-12$$

c에 \frac{2y}{3}-\frac{13}{9}을(를) 곱합니다.

$$\frac{2c}{3}y-\frac{13c}{9}+8y=-12$$

\frac{2cy}{3}을(를) 8y에 추가합니다.

$$\left(\frac{2c}{3}+8\right)y-\frac{13c}{9}=-12$$

수식의 양쪽에 \frac{13c}{9}을(를) 더합니다.

$$\left(\frac{2c}{3}+8\right)y=\frac{13c}{9}-12$$

양쪽을 \frac{2c}{3}+8(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

x=\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}에서 y을(를) \frac{-108+13c}{6\left(c+12\right)}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}-\frac{13}{9}$$

\frac{2}{3}에 \frac{-108+13c}{6\left(c+12\right)}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{13c-108}{9\left(c+12\right)}-\frac{13}{9}$$

-\frac{13}{9}을(를) \frac{-108+13c}{9\left(c+12\right)}에 추가합니다.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{-9\times 8-6c}&-\frac{6}{-9\times 8-6c}\\-\frac{c}{-9\times 8-6c}&-\frac{9}{-9\times 8-6c}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(c+12\right)}&\frac{1}{c+12}\\\frac{c}{6\left(c+12\right)}&\frac{3}{2\left(c+12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{4}{3\left(c+12\right)}\right)\times 13+\frac{1}{c+12}\left(-12\right)\\\frac{c}{6\left(c+12\right)}\times 13+\frac{3}{2\left(c+12\right)}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{88}{3\left(c+12\right)}\\\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

-9x 및 cx을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 c을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -9을(를) 곱합니다.

$$c\left(-9\right)x+c\times 6y=c\times 13,-9cx-9\times 8y=-9\left(-12\right)$$

단순화합니다.

$$\left(-9c\right)x+6cy=13c,\left(-9c\right)x-72y=108$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 \left(-9c\right)x+6cy=13c에서 \left(-9c\right)x-72y=108을(를) 뺍니다.

$$\left(-9c\right)x+9cx+6cy+72y=13c-108$$

-9cx을(를) 9cx에 추가합니다. -9cx 및 9cx이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$6cy+72y=13c-108$$

6cy을(를) 72y에 추가합니다.

$$\left(6c+72\right)y=13c-108$$

양쪽을 72+6c(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

cx+8y=-12에서 y을(를) \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$cx+8\times \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}=-12$$

8에 \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}을(를) 곱합니다.

$$cx+\frac{4\left(13c-108\right)}{3\left(c+12\right)}=-12$$

수식의 양쪽에서 \frac{4\left(13c-108\right)}{3\left(c+12\right)}을(를) 뺍니다.

$$cx=-\frac{88c}{3\left(c+12\right)}$$

양쪽을 c(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$