다음을 풀어보세요: {l}{-8x-6y=30}{-6x+2y=-10}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x - 6 y = 30 } \\ { - 6 x + 2 y = - 10 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=0$$

$$y=-5$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-8x-6y=30,-6x+2y=-10$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$-8x-6y=30$$

수식의 양쪽에 6y을(를) 더합니다.

$$-8x=6y+30$$

양쪽을 -8(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{1}{8}\left(6y+30\right)$$

-\frac{1}{8}에 30+6y을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{15}{4}$$

다른 수식 -6x+2y=-10에서 \frac{-3y-15}{4}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-6\left(-\frac{3}{4}y-\frac{15}{4}\right)+2y=-10$$

-6에 \frac{-3y-15}{4}을(를) 곱합니다.

$$\frac{9}{2}y+\frac{45}{2}+2y=-10$$

\frac{9y}{2}을(를) 2y에 추가합니다.

$$\frac{13}{2}y+\frac{45}{2}=-10$$

수식의 양쪽에서 \frac{45}{2}을(를) 뺍니다.

$$\frac{13}{2}y=-\frac{65}{2}$$

수식의 양쪽을 \frac{13}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-5$$

x=-\frac{3}{4}y-\frac{15}{4}에서 y을(를) -5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-5\right)-\frac{15}{4}$$

-\frac{3}{4}에 -5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{15-15}{4}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{15}{4}을(를) \frac{15}{4}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=0$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=0,y=-5$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-8x-6y=30,-6x+2y=-10$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-8\times 2-\left(-6\left(-6\right)\right)}&-\frac{-6}{-8\times 2-\left(-6\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{-8\times 2-\left(-6\left(-6\right)\right)}&-\frac{8}{-8\times 2-\left(-6\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{26}&-\frac{3}{26}\\-\frac{3}{26}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{26}\times 30-\frac{3}{26}\left(-10\right)\\-\frac{3}{26}\times 30+\frac{2}{13}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=0,y=-5$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-8x-6y=30,-6x+2y=-10$$

-8x 및 -6x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -6을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -8을(를) 곱합니다.

$$-6\left(-8\right)x-6\left(-6\right)y=-6\times 30,-8\left(-6\right)x-8\times 2y=-8\left(-10\right)$$

단순화합니다.

$$48x+36y=-180,48x-16y=80$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 48x+36y=-180에서 48x-16y=80을(를) 뺍니다.

$$48x-48x+36y+16y=-180-80$$

48x을(를) -48x에 추가합니다. 48x 및 -48x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$36y+16y=-180-80$$

36y을(를) 16y에 추가합니다.

$$52y=-180-80$$

-180을(를) -80에 추가합니다.

$$52y=-260$$

양쪽을 52(으)로 나눕니다.

$$y=-5$$

-6x+2y=-10에서 y을(를) -5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-6x+2\left(-5\right)=-10$$

2에 -5을(를) 곱합니다.

$$-6x-10=-10$$

수식의 양쪽에 10을(를) 더합니다.

$$-6x=0$$

양쪽을 -6(으)로 나눕니다.

$$x=0$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=0,y=-5$$