다음을 풀어보세요: {l}{-8x+7y=13}{7x-9y=-20}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x + 7 y = 13 } \\ { 7 x - 9 y = - 20 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=1$$

$$y=3$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-8x+7y=13,7x-9y=-20$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$-8x+7y=13$$

수식의 양쪽에서 7y을(를) 뺍니다.

$$-8x=-7y+13$$

양쪽을 -8(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-7y+13\right)$$

-\frac{1}{8}에 -7y+13을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{7}{8}y-\frac{13}{8}$$

다른 수식 7x-9y=-20에서 \frac{7y-13}{8}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$7\left(\frac{7}{8}y-\frac{13}{8}\right)-9y=-20$$

7에 \frac{7y-13}{8}을(를) 곱합니다.

$$\frac{49}{8}y-\frac{91}{8}-9y=-20$$

\frac{49y}{8}을(를) -9y에 추가합니다.

$$-\frac{23}{8}y-\frac{91}{8}=-20$$

수식의 양쪽에 \frac{91}{8}을(를) 더합니다.

$$-\frac{23}{8}y=-\frac{69}{8}$$

수식의 양쪽을 -\frac{23}{8}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=3$$

x=\frac{7}{8}y-\frac{13}{8}에서 y을(를) 3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{7}{8}\times 3-\frac{13}{8}$$

\frac{7}{8}에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{21-13}{8}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{13}{8}을(를) \frac{21}{8}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1,y=3$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-8x+7y=13,7x-9y=-20$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{-8\left(-9\right)-7\times 7}&-\frac{7}{-8\left(-9\right)-7\times 7}\\-\frac{7}{-8\left(-9\right)-7\times 7}&-\frac{8}{-8\left(-9\right)-7\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{23}&-\frac{7}{23}\\-\frac{7}{23}&-\frac{8}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{23}\times 13-\frac{7}{23}\left(-20\right)\\-\frac{7}{23}\times 13-\frac{8}{23}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=1,y=3$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-8x+7y=13,7x-9y=-20$$

-8x 및 7x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 7을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -8을(를) 곱합니다.

$$7\left(-8\right)x+7\times 7y=7\times 13,-8\times 7x-8\left(-9\right)y=-8\left(-20\right)$$

단순화합니다.

$$-56x+49y=91,-56x+72y=160$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -56x+49y=91에서 -56x+72y=160을(를) 뺍니다.

$$-56x+56x+49y-72y=91-160$$

-56x을(를) 56x에 추가합니다. -56x 및 56x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$49y-72y=91-160$$

49y을(를) -72y에 추가합니다.

$$-23y=91-160$$

91을(를) -160에 추가합니다.

$$-23y=-69$$

양쪽을 -23(으)로 나눕니다.

$$y=3$$

7x-9y=-20에서 y을(를) 3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$7x-9\times 3=-20$$

-9에 3을(를) 곱합니다.

$$7x-27=-20$$

수식의 양쪽에 27을(를) 더합니다.

$$7x=7$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$x=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1,y=3$$