다음을 풀어보세요: {l}{-7x-8y=-2}{-5x+8y=26}

$$\left. \begin{array} { l } { - 7 x - 8 y = - 2 } \\ { - 5 x + 8 y = 26 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-2$$

$$y=2$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-7x-8y=-2,-5x+8y=26$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$-7x-8y=-2$$

수식의 양쪽에 8y을(를) 더합니다.

$$-7x=8y-2$$

양쪽을 -7(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{1}{7}\left(8y-2\right)$$

-\frac{1}{7}에 8y-2을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{8}{7}y+\frac{2}{7}$$

다른 수식 -5x+8y=26에서 \frac{-8y+2}{7}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-5\left(-\frac{8}{7}y+\frac{2}{7}\right)+8y=26$$

-5에 \frac{-8y+2}{7}을(를) 곱합니다.

$$\frac{40}{7}y-\frac{10}{7}+8y=26$$

\frac{40y}{7}을(를) 8y에 추가합니다.

$$\frac{96}{7}y-\frac{10}{7}=26$$

수식의 양쪽에 \frac{10}{7}을(를) 더합니다.

$$\frac{96}{7}y=\frac{192}{7}$$

수식의 양쪽을 \frac{96}{7}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=2$$

x=-\frac{8}{7}y+\frac{2}{7}에서 y을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{8}{7}\times 2+\frac{2}{7}$$

-\frac{8}{7}에 2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-16+2}{7}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{2}{7}을(를) -\frac{16}{7}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-2,y=2$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-7x-8y=-2,-5x+8y=26$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{-7\times 8-\left(-8\left(-5\right)\right)}&-\frac{-8}{-7\times 8-\left(-8\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-7\times 8-\left(-8\left(-5\right)\right)}&-\frac{7}{-7\times 8-\left(-8\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&-\frac{1}{12}\\-\frac{5}{96}&\frac{7}{96}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\left(-2\right)-\frac{1}{12}\times 26\\-\frac{5}{96}\left(-2\right)+\frac{7}{96}\times 26\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-2,y=2$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-7x-8y=-2,-5x+8y=26$$

-7x 및 -5x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -5을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -7을(를) 곱합니다.

$$-5\left(-7\right)x-5\left(-8\right)y=-5\left(-2\right),-7\left(-5\right)x-7\times 8y=-7\times 26$$

단순화합니다.

$$35x+40y=10,35x-56y=-182$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 35x+40y=10에서 35x-56y=-182을(를) 뺍니다.

$$35x-35x+40y+56y=10+182$$

35x을(를) -35x에 추가합니다. 35x 및 -35x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$40y+56y=10+182$$

40y을(를) 56y에 추가합니다.

$$96y=10+182$$

10을(를) 182에 추가합니다.

$$96y=192$$

양쪽을 96(으)로 나눕니다.

$$y=2$$

-5x+8y=26에서 y을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-5x+8\times 2=26$$

8에 2을(를) 곱합니다.

$$-5x+16=26$$

수식의 양쪽에서 16을(를) 뺍니다.

$$-5x=10$$

양쪽을 -5(으)로 나눕니다.

$$x=-2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-2,y=2$$