다음을 풀어보세요: {l}{-6x-y=-12}{2x-y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { - 6 x - y = - 12 } \\ { 2 x - y = 12 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=3$$

$$y=-6$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-6x-y=-12,2x-y=12$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$-6x-y=-12$$

수식의 양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$-6x=y-12$$

양쪽을 -6(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{1}{6}\left(y-12\right)$$

-\frac{1}{6}에 y-12을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{6}y+2$$

다른 수식 2x-y=12에서 -\frac{y}{6}+2을(를) x(으)로 치환합니다.

$$2\left(-\frac{1}{6}y+2\right)-y=12$$

2에 -\frac{y}{6}+2을(를) 곱합니다.

$$-\frac{1}{3}y+4-y=12$$

-\frac{y}{3}을(를) -y에 추가합니다.

$$-\frac{4}{3}y+4=12$$

수식의 양쪽에서 4을(를) 뺍니다.

$$-\frac{4}{3}y=8$$

수식의 양쪽을 -\frac{4}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-6$$

x=-\frac{1}{6}y+2에서 y을(를) -6(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-6\right)+2$$

-\frac{1}{6}에 -6을(를) 곱합니다.

$$x=1+2$$

2을(를) 1에 추가합니다.

$$x=3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=3,y=-6$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-6x-y=-12,2x-y=12$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-6&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-6&-1\\2&-1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\12\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\12\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-6\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{-6\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{-6\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{6}{-6\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\12\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\12\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}\left(-12\right)+\frac{1}{8}\times 12\\-\frac{1}{4}\left(-12\right)-\frac{3}{4}\times 12\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=3,y=-6$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-6x-y=-12,2x-y=12$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -6x-y=-12에서 2x-y=12을(를) 뺍니다.

$$-6x-2x-y+y=-12-12$$

-y을(를) y에 추가합니다. -y 및 y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-6x-2x=-12-12$$

-6x을(를) -2x에 추가합니다.

$$-8x=-12-12$$

-12을(를) -12에 추가합니다.

$$-8x=-24$$

양쪽을 -8(으)로 나눕니다.

$$x=3$$

2x-y=12에서 x을(를) 3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2\times 3-y=12$$

2에 3을(를) 곱합니다.

$$6-y=12$$

수식의 양쪽에서 6을(를) 뺍니다.

$$-y=6$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$y=-6$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=3,y=-6$$