다음을 풀어보세요: {l}{-5x-3y-9=0}{4x-18y-54=0}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x - 3 y - 9 = 0 } \\ { 4 x - 18 y - 54 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=0$$

$$y=-3$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-5x-3y-9=0,4x-18y-54=0$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$-5x-3y-9=0$$

수식의 양쪽에 9을(를) 더합니다.

$$-5x-3y=9$$

수식의 양쪽에 3y을(를) 더합니다.

$$-5x=3y+9$$

양쪽을 -5(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{1}{5}\left(3y+9\right)$$

-\frac{1}{5}에 9+3y을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{3}{5}y-\frac{9}{5}$$

다른 수식 4x-18y-54=0에서 \frac{-3y-9}{5}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$4\left(-\frac{3}{5}y-\frac{9}{5}\right)-18y-54=0$$

4에 \frac{-3y-9}{5}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{12}{5}y-\frac{36}{5}-18y-54=0$$

-\frac{12y}{5}을(를) -18y에 추가합니다.

$$-\frac{102}{5}y-\frac{36}{5}-54=0$$

-\frac{36}{5}을(를) -54에 추가합니다.

$$-\frac{102}{5}y-\frac{306}{5}=0$$

수식의 양쪽에 \frac{306}{5}을(를) 더합니다.

$$-\frac{102}{5}y=\frac{306}{5}$$

수식의 양쪽을 -\frac{102}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-3$$

x=-\frac{3}{5}y-\frac{9}{5}에서 y을(를) -3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{3}{5}\left(-3\right)-\frac{9}{5}$$

-\frac{3}{5}에 -3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{9-9}{5}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{9}{5}을(를) \frac{9}{5}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=0$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=0,y=-3$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-5x-3y-9=0,4x-18y-54=0$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{-5\left(-18\right)-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{-5\left(-18\right)-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{-5\left(-18\right)-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{5}{-5\left(-18\right)-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{17}&\frac{1}{34}\\-\frac{2}{51}&-\frac{5}{102}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{17}\times 9+\frac{1}{34}\times 54\\-\frac{2}{51}\times 9-\frac{5}{102}\times 54\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=0,y=-3$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-5x-3y-9=0,4x-18y-54=0$$

-5x 및 4x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -5을(를) 곱합니다.

$$4\left(-5\right)x+4\left(-3\right)y+4\left(-9\right)=0,-5\times 4x-5\left(-18\right)y-5\left(-54\right)=0$$

단순화합니다.

$$-20x-12y-36=0,-20x+90y+270=0$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -20x-12y-36=0에서 -20x+90y+270=0을(를) 뺍니다.

$$-20x+20x-12y-90y-36-270=0$$

-20x을(를) 20x에 추가합니다. -20x 및 20x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-12y-90y-36-270=0$$

-12y을(를) -90y에 추가합니다.

$$-102y-36-270=0$$

-36을(를) -270에 추가합니다.

$$-102y-306=0$$

수식의 양쪽에 306을(를) 더합니다.

$$-102y=306$$

양쪽을 -102(으)로 나눕니다.

$$y=-3$$

4x-18y-54=0에서 y을(를) -3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$4x-18\left(-3\right)-54=0$$

-18에 -3을(를) 곱합니다.

$$4x+54-54=0$$

54을(를) -54에 추가합니다.

$$4x=0$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=0$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=0,y=-3$$