다음을 풀어보세요: {l}{-5x+5y=-5}{-4x+2y=-14}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 5 y = - 5 } \\ { - 4 x + 2 y = - 14 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=6$$

$$y=5$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-5x+5y=-5,-4x+2y=-14$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$-5x+5y=-5$$

수식의 양쪽에서 5y을(를) 뺍니다.

$$-5x=-5y-5$$

양쪽을 -5(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-5y-5\right)$$

-\frac{1}{5}에 -5y-5을(를) 곱합니다.

$$x=y+1$$

다른 수식 -4x+2y=-14에서 y+1을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-4\left(y+1\right)+2y=-14$$

-4에 y+1을(를) 곱합니다.

$$-4y-4+2y=-14$$

-4y을(를) 2y에 추가합니다.

$$-2y-4=-14$$

수식의 양쪽에 4을(를) 더합니다.

$$-2y=-10$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$y=5$$

x=y+1에서 y을(를) 5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=5+1$$

1을(를) 5에 추가합니다.

$$x=6$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=6,y=5$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-5x+5y=-5,-4x+2y=-14$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-5&5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-5&5\\-4&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-5\left(-4\right)}&-\frac{5}{-5\times 2-5\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{-5\times 2-5\left(-4\right)}&-\frac{5}{-5\times 2-5\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{1}{2}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-5\right)-\frac{1}{2}\left(-14\right)\\\frac{2}{5}\left(-5\right)-\frac{1}{2}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\5\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=6,y=5$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-5x+5y=-5,-4x+2y=-14$$

-5x 및 -4x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -5을(를) 곱합니다.

$$-4\left(-5\right)x-4\times 5y=-4\left(-5\right),-5\left(-4\right)x-5\times 2y=-5\left(-14\right)$$

단순화합니다.

$$20x-20y=20,20x-10y=70$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 20x-20y=20에서 20x-10y=70을(를) 뺍니다.

$$20x-20x-20y+10y=20-70$$

20x을(를) -20x에 추가합니다. 20x 및 -20x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-20y+10y=20-70$$

-20y을(를) 10y에 추가합니다.

$$-10y=20-70$$

20을(를) -70에 추가합니다.

$$-10y=-50$$

양쪽을 -10(으)로 나눕니다.

$$y=5$$

-4x+2y=-14에서 y을(를) 5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-4x+2\times 5=-14$$

2에 5을(를) 곱합니다.

$$-4x+10=-14$$

수식의 양쪽에서 10을(를) 뺍니다.

$$-4x=-24$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$x=6$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=6,y=5$$