다음을 풀어보세요: {l}{-5x+2y=9}{3x+5y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 2 y = 9 } \\ { 3 x + 5 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-1$$

$$y=2$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-5x+2y=9,3x+5y=7$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$-5x+2y=9$$

수식의 양쪽에서 2y을(를) 뺍니다.

$$-5x=-2y+9$$

양쪽을 -5(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-2y+9\right)$$

-\frac{1}{5}에 -2y+9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{2}{5}y-\frac{9}{5}$$

다른 수식 3x+5y=7에서 \frac{2y-9}{5}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$3\left(\frac{2}{5}y-\frac{9}{5}\right)+5y=7$$

3에 \frac{2y-9}{5}을(를) 곱합니다.

$$\frac{6}{5}y-\frac{27}{5}+5y=7$$

\frac{6y}{5}을(를) 5y에 추가합니다.

$$\frac{31}{5}y-\frac{27}{5}=7$$

수식의 양쪽에 \frac{27}{5}을(를) 더합니다.

$$\frac{31}{5}y=\frac{62}{5}$$

수식의 양쪽을 \frac{31}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=2$$

x=\frac{2}{5}y-\frac{9}{5}에서 y을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{2}{5}\times 2-\frac{9}{5}$$

\frac{2}{5}에 2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{4-9}{5}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{9}{5}을(를) \frac{4}{5}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-1,y=2$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-5x+2y=9,3x+5y=7$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-5&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-5&2\\3&5\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-5\times 5-2\times 3}&-\frac{2}{-5\times 5-2\times 3}\\-\frac{3}{-5\times 5-2\times 3}&-\frac{5}{-5\times 5-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{31}&\frac{2}{31}\\\frac{3}{31}&\frac{5}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{31}\times 9+\frac{2}{31}\times 7\\\frac{3}{31}\times 9+\frac{5}{31}\times 7\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-1,y=2$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-5x+2y=9,3x+5y=7$$

-5x 및 3x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -5을(를) 곱합니다.

$$3\left(-5\right)x+3\times 2y=3\times 9,-5\times 3x-5\times 5y=-5\times 7$$

단순화합니다.

$$-15x+6y=27,-15x-25y=-35$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -15x+6y=27에서 -15x-25y=-35을(를) 뺍니다.

$$-15x+15x+6y+25y=27+35$$

-15x을(를) 15x에 추가합니다. -15x 및 15x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$6y+25y=27+35$$

6y을(를) 25y에 추가합니다.

$$31y=27+35$$

27을(를) 35에 추가합니다.

$$31y=62$$

양쪽을 31(으)로 나눕니다.

$$y=2$$

3x+5y=7에서 y을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3x+5\times 2=7$$

5에 2을(를) 곱합니다.

$$3x+10=7$$

수식의 양쪽에서 10을(를) 뺍니다.

$$3x=-3$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=-1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-1,y=2$$