다음을 풀어보세요: {l}{-5*(x-y)+3y=2x}{2y-(6x+7)=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 \cdot ( x - y ) + 3 y = 2 x } \\ { 2 y - ( 6 x + 7 ) = - 2 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = -\frac{20}{17} = -1\frac{3}{17} \approx -1.176470588$$

$$y = -\frac{35}{34} = -1\frac{1}{34} \approx -1.029411765$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 -5에 x-y(을)를 곱합니다.

$$-5x+5y+3y=2x$$

5y과(와) 3y을(를) 결합하여 8y(을)를 구합니다.

$$-5x+8y=2x$$

양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$-5x+8y-2x=0$$

-5x과(와) -2x을(를) 결합하여 -7x(을)를 구합니다.

$$-7x+8y=0$$

두 번째 수식을 검토합니다. 6x+7의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.

$$2y-6x-7=-2$$

양쪽에 7을(를) 더합니다.

$$2y-6x=-2+7$$

-2과(와) 7을(를) 더하여 5을(를) 구합니다.

$$2y-6x=5$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$-7x+8y=0$$

수식의 양쪽에서 8y을(를) 뺍니다.

$$-7x=-8y$$

양쪽을 -7(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{1}{7}\left(-8\right)y$$

-\frac{1}{7}에 -8y을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{8}{7}y$$

다른 수식 -6x+2y=5에서 \frac{8y}{7}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-6\times \frac{8}{7}y+2y=5$$

-6에 \frac{8y}{7}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{48}{7}y+2y=5$$

-\frac{48y}{7}을(를) 2y에 추가합니다.

$$-\frac{34}{7}y=5$$

수식의 양쪽을 -\frac{34}{7}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-\frac{35}{34}$$

x=\frac{8}{7}y에서 y을(를) -\frac{35}{34}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{8}{7}\left(-\frac{35}{34}\right)$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{8}{7}에 -\frac{35}{34}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{20}{17}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 -5에 x-y(을)를 곱합니다.

$$-5x+5y+3y=2x$$

5y과(와) 3y을(를) 결합하여 8y(을)를 구합니다.

$$-5x+8y=2x$$

양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$-5x+8y-2x=0$$

-5x과(와) -2x을(를) 결합하여 -7x(을)를 구합니다.

$$-7x+8y=0$$

두 번째 수식을 검토합니다. 6x+7의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.

$$2y-6x-7=-2$$

양쪽에 7을(를) 더합니다.

$$2y-6x=-2+7$$

-2과(와) 7을(를) 더하여 5을(를) 구합니다.

$$2y-6x=5$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-7\times 2-8\left(-6\right)}&-\frac{8}{-7\times 2-8\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{-7\times 2-8\left(-6\right)}&-\frac{7}{-7\times 2-8\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&-\frac{4}{17}\\\frac{3}{17}&-\frac{7}{34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{17}\times 5\\-\frac{7}{34}\times 5\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{17}\\-\frac{35}{34}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 -5에 x-y(을)를 곱합니다.

$$-5x+5y+3y=2x$$

5y과(와) 3y을(를) 결합하여 8y(을)를 구합니다.

$$-5x+8y=2x$$

양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$-5x+8y-2x=0$$

-5x과(와) -2x을(를) 결합하여 -7x(을)를 구합니다.

$$-7x+8y=0$$

두 번째 수식을 검토합니다. 6x+7의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.

$$2y-6x-7=-2$$

양쪽에 7을(를) 더합니다.

$$2y-6x=-2+7$$

-2과(와) 7을(를) 더하여 5을(를) 구합니다.

$$2y-6x=5$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

-7x 및 -6x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -6을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -7을(를) 곱합니다.

$$-6\left(-7\right)x-6\times 8y=0,-7\left(-6\right)x-7\times 2y=-7\times 5$$

단순화합니다.

$$42x-48y=0,42x-14y=-35$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 42x-48y=0에서 42x-14y=-35을(를) 뺍니다.

$$42x-42x-48y+14y=35$$

42x을(를) -42x에 추가합니다. 42x 및 -42x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-48y+14y=35$$

-48y을(를) 14y에 추가합니다.

$$-34y=35$$

양쪽을 -34(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{35}{34}$$

-6x+2y=5에서 y을(를) -\frac{35}{34}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-6x+2\left(-\frac{35}{34}\right)=5$$

2에 -\frac{35}{34}을(를) 곱합니다.

$$-6x-\frac{35}{17}=5$$

수식의 양쪽에 \frac{35}{17}을(를) 더합니다.

$$-6x=\frac{120}{17}$$

양쪽을 -6(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{20}{17}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$