다음을 풀어보세요: {l}{-4x-4y=4}{6x+4y=-8}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x - 4 y = 4 } \\ { 6 x + 4 y = - 8 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-2$$

$$y=1$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-4x-4y=4,6x+4y=-8$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$-4x-4y=4$$

수식의 양쪽에 4y을(를) 더합니다.

$$-4x=4y+4$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{1}{4}\left(4y+4\right)$$

-\frac{1}{4}에 4+4y을(를) 곱합니다.

$$x=-y-1$$

다른 수식 6x+4y=-8에서 -y-1을(를) x(으)로 치환합니다.

$$6\left(-y-1\right)+4y=-8$$

6에 -y-1을(를) 곱합니다.

$$-6y-6+4y=-8$$

-6y을(를) 4y에 추가합니다.

$$-2y-6=-8$$

수식의 양쪽에 6을(를) 더합니다.

$$-2y=-2$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$y=1$$

x=-y-1에서 y을(를) 1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-1-1$$

-1을(를) -1에 추가합니다.

$$x=-2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-2,y=1$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-4x-4y=4,6x+4y=-8$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-4&-4\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-4&-4\\6&4\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-4\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-4\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-4\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-4\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-4\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-4\times 4-\left(-4\times 6\right)}&-\frac{-4}{-4\times 4-\left(-4\times 6\right)}\\-\frac{6}{-4\times 4-\left(-4\times 6\right)}&-\frac{4}{-4\times 4-\left(-4\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{3}{4}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 4+\frac{1}{2}\left(-8\right)\\-\frac{3}{4}\times 4-\frac{1}{2}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-2,y=1$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-4x-4y=4,6x+4y=-8$$

-4x 및 6x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 6을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -4을(를) 곱합니다.

$$6\left(-4\right)x+6\left(-4\right)y=6\times 4,-4\times 6x-4\times 4y=-4\left(-8\right)$$

단순화합니다.

$$-24x-24y=24,-24x-16y=32$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -24x-24y=24에서 -24x-16y=32을(를) 뺍니다.

$$-24x+24x-24y+16y=24-32$$

-24x을(를) 24x에 추가합니다. -24x 및 24x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-24y+16y=24-32$$

-24y을(를) 16y에 추가합니다.

$$-8y=24-32$$

24을(를) -32에 추가합니다.

$$-8y=-8$$

양쪽을 -8(으)로 나눕니다.

$$y=1$$

6x+4y=-8에서 y을(를) 1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$6x+4=-8$$

수식의 양쪽에서 4을(를) 뺍니다.

$$6x=-12$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$x=-2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-2,y=1$$