다음을 풀어보세요: {l}{-4x-10y=20}{8x+10y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x - 10 y = 20 } \\ { 8 x + 10 y = 20 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=10$$

$$y=-6$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$-4x-10y=20$$

수식의 양쪽에 10y을(를) 더합니다.

$$-4x=10y+20$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{1}{4}\left(10y+20\right)$$

-\frac{1}{4}에 20+10y을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{5}{2}y-5$$

다른 수식 8x+10y=20에서 -\frac{5y}{2}-5을(를) x(으)로 치환합니다.

$$8\left(-\frac{5}{2}y-5\right)+10y=20$$

8에 -\frac{5y}{2}-5을(를) 곱합니다.

$$-20y-40+10y=20$$

-20y을(를) 10y에 추가합니다.

$$-10y-40=20$$

수식의 양쪽에 40을(를) 더합니다.

$$-10y=60$$

양쪽을 -10(으)로 나눕니다.

$$y=-6$$

x=-\frac{5}{2}y-5에서 y을(를) -6(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-6\right)-5$$

-\frac{5}{2}에 -6을(를) 곱합니다.

$$x=15-5$$

-5을(를) 15에 추가합니다.

$$x=10$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=10,y=-6$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}&-\frac{-10}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}\\-\frac{8}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}&-\frac{4}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 20+\frac{1}{4}\times 20\\-\frac{1}{5}\times 20-\frac{1}{10}\times 20\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-6\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=10,y=-6$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

-4x 및 8x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 8을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -4을(를) 곱합니다.

$$8\left(-4\right)x+8\left(-10\right)y=8\times 20,-4\times 8x-4\times 10y=-4\times 20$$

단순화합니다.

$$-32x-80y=160,-32x-40y=-80$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -32x-80y=160에서 -32x-40y=-80을(를) 뺍니다.

$$-32x+32x-80y+40y=160+80$$

-32x을(를) 32x에 추가합니다. -32x 및 32x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-80y+40y=160+80$$

-80y을(를) 40y에 추가합니다.

$$-40y=160+80$$

160을(를) 80에 추가합니다.

$$-40y=240$$

양쪽을 -40(으)로 나눕니다.

$$y=-6$$

8x+10y=20에서 y을(를) -6(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$8x+10\left(-6\right)=20$$

10에 -6을(를) 곱합니다.

$$8x-60=20$$

수식의 양쪽에 60을(를) 더합니다.

$$8x=80$$

양쪽을 8(으)로 나눕니다.

$$x=10$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=10,y=-6$$