다음을 풀어보세요: {l}{-4x+9y=9}{x-3y=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x + 9 y = 9 } \\ { x - 3 y = - 6 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=9$$

$$y=5$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-4x+9y=9,x-3y=-6$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$-4x+9y=9$$

수식의 양쪽에서 9y을(를) 뺍니다.

$$-4x=-9y+9$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-9y+9\right)$$

-\frac{1}{4}에 -9y+9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{9}{4}y-\frac{9}{4}$$

다른 수식 x-3y=-6에서 \frac{-9+9y}{4}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$\frac{9}{4}y-\frac{9}{4}-3y=-6$$

\frac{9y}{4}을(를) -3y에 추가합니다.

$$-\frac{3}{4}y-\frac{9}{4}=-6$$

수식의 양쪽에 \frac{9}{4}을(를) 더합니다.

$$-\frac{3}{4}y=-\frac{15}{4}$$

수식의 양쪽을 -\frac{3}{4}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=5$$

x=\frac{9}{4}y-\frac{9}{4}에서 y을(를) 5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{9}{4}\times 5-\frac{9}{4}$$

\frac{9}{4}에 5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{45-9}{4}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{9}{4}을(를) \frac{45}{4}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=9$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=9,y=5$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-4x+9y=9,x-3y=-6$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-4\left(-3\right)-9}&-\frac{9}{-4\left(-3\right)-9}\\-\frac{1}{-4\left(-3\right)-9}&-\frac{4}{-4\left(-3\right)-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-3\\-\frac{1}{3}&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9-3\left(-6\right)\\-\frac{1}{3}\times 9-\frac{4}{3}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=9,y=5$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-4x+9y=9,x-3y=-6$$

-4x 및 x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -4을(를) 곱합니다.

$$-4x+9y=9,-4x-4\left(-3\right)y=-4\left(-6\right)$$

단순화합니다.

$$-4x+9y=9,-4x+12y=24$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -4x+9y=9에서 -4x+12y=24을(를) 뺍니다.

$$-4x+4x+9y-12y=9-24$$

-4x을(를) 4x에 추가합니다. -4x 및 4x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$9y-12y=9-24$$

9y을(를) -12y에 추가합니다.

$$-3y=9-24$$

9을(를) -24에 추가합니다.

$$-3y=-15$$

양쪽을 -3(으)로 나눕니다.

$$y=5$$

x-3y=-6에서 y을(를) 5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x-3\times 5=-6$$

-3에 5을(를) 곱합니다.

$$x-15=-6$$

수식의 양쪽에 15을(를) 더합니다.

$$x=9$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=9,y=5$$