다음을 풀어보세요: {l}{-3x-5y=17}{-5x+6y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x - 5 y = 17 } \\ { - 5 x + 6 y = 14 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-4$$

$$y=-1$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-3x-5y=17,-5x+6y=14$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$-3x-5y=17$$

수식의 양쪽에 5y을(를) 더합니다.

$$-3x=5y+17$$

양쪽을 -3(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{1}{3}\left(5y+17\right)$$

-\frac{1}{3}에 5y+17을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{5}{3}y-\frac{17}{3}$$

다른 수식 -5x+6y=14에서 \frac{-5y-17}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-5\left(-\frac{5}{3}y-\frac{17}{3}\right)+6y=14$$

-5에 \frac{-5y-17}{3}을(를) 곱합니다.

$$\frac{25}{3}y+\frac{85}{3}+6y=14$$

\frac{25y}{3}을(를) 6y에 추가합니다.

$$\frac{43}{3}y+\frac{85}{3}=14$$

수식의 양쪽에서 \frac{85}{3}을(를) 뺍니다.

$$\frac{43}{3}y=-\frac{43}{3}$$

수식의 양쪽을 \frac{43}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-1$$

x=-\frac{5}{3}y-\frac{17}{3}에서 y을(를) -1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-1\right)-\frac{17}{3}$$

-\frac{5}{3}에 -1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{5-17}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{17}{3}을(를) \frac{5}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-4,y=-1$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-3x-5y=17,-5x+6y=14$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{-3\times 6-\left(-5\left(-5\right)\right)}&-\frac{-5}{-3\times 6-\left(-5\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-3\times 6-\left(-5\left(-5\right)\right)}&-\frac{3}{-3\times 6-\left(-5\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{43}&-\frac{5}{43}\\-\frac{5}{43}&\frac{3}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{43}\times 17-\frac{5}{43}\times 14\\-\frac{5}{43}\times 17+\frac{3}{43}\times 14\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-4,y=-1$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-3x-5y=17,-5x+6y=14$$

-3x 및 -5x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -5을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -3을(를) 곱합니다.

$$-5\left(-3\right)x-5\left(-5\right)y=-5\times 17,-3\left(-5\right)x-3\times 6y=-3\times 14$$

단순화합니다.

$$15x+25y=-85,15x-18y=-42$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 15x+25y=-85에서 15x-18y=-42을(를) 뺍니다.

$$15x-15x+25y+18y=-85+42$$

15x을(를) -15x에 추가합니다. 15x 및 -15x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$25y+18y=-85+42$$

25y을(를) 18y에 추가합니다.

$$43y=-85+42$$

-85을(를) 42에 추가합니다.

$$43y=-43$$

양쪽을 43(으)로 나눕니다.

$$y=-1$$

-5x+6y=14에서 y을(를) -1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-5x+6\left(-1\right)=14$$

6에 -1을(를) 곱합니다.

$$-5x-6=14$$

수식의 양쪽에 6을(를) 더합니다.

$$-5x=20$$

양쪽을 -5(으)로 나눕니다.

$$x=-4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-4,y=-1$$