다음을 풀어보세요: {l}{-3x-2y=6}{3x+3y=-9}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x - 2 y = 6 } \\ { 3 x + 3 y = - 9 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=0$$

$$y=-3$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-3x-2y=6,3x+3y=-9$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$-3x-2y=6$$

수식의 양쪽에 2y을(를) 더합니다.

$$-3x=2y+6$$

양쪽을 -3(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{1}{3}\left(2y+6\right)$$

-\frac{1}{3}에 6+2y을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{2}{3}y-2$$

다른 수식 3x+3y=-9에서 -\frac{2y}{3}-2을(를) x(으)로 치환합니다.

$$3\left(-\frac{2}{3}y-2\right)+3y=-9$$

3에 -\frac{2y}{3}-2을(를) 곱합니다.

$$-2y-6+3y=-9$$

-2y을(를) 3y에 추가합니다.

$$y-6=-9$$

수식의 양쪽에 6을(를) 더합니다.

$$y=-3$$

x=-\frac{2}{3}y-2에서 y을(를) -3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-3\right)-2$$

-\frac{2}{3}에 -3을(를) 곱합니다.

$$x=2-2$$

-2을(를) 2에 추가합니다.

$$x=0$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=0,y=-3$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-3x-2y=6,3x+3y=-9$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-3\times 3-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{-3\times 3-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{-3\times 3-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{3}{-3\times 3-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-\frac{2}{3}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6-\frac{2}{3}\left(-9\right)\\6-9\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=0,y=-3$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-3x-2y=6,3x+3y=-9$$

-3x 및 3x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -3을(를) 곱합니다.

$$3\left(-3\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 6,-3\times 3x-3\times 3y=-3\left(-9\right)$$

단순화합니다.

$$-9x-6y=18,-9x-9y=27$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -9x-6y=18에서 -9x-9y=27을(를) 뺍니다.

$$-9x+9x-6y+9y=18-27$$

-9x을(를) 9x에 추가합니다. -9x 및 9x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-6y+9y=18-27$$

-6y을(를) 9y에 추가합니다.

$$3y=18-27$$

18을(를) -27에 추가합니다.

$$3y=-9$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$y=-3$$

3x+3y=-9에서 y을(를) -3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3x+3\left(-3\right)=-9$$

3에 -3을(를) 곱합니다.

$$3x-9=-9$$

수식의 양쪽에 9을(를) 더합니다.

$$3x=0$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=0$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=0,y=-3$$