다음을 풀어보세요: {l}{-3x+3y=-3}{x-9y=-15}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 3 y = - 3 } \\ { x - 9 y = - 15 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=3$$

$$y=2$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-3x+3y=-3,x-9y=-15$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$-3x+3y=-3$$

수식의 양쪽에서 3y을(를) 뺍니다.

$$-3x=-3y-3$$

양쪽을 -3(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-3y-3\right)$$

-\frac{1}{3}에 -3y-3을(를) 곱합니다.

$$x=y+1$$

다른 수식 x-9y=-15에서 y+1을(를) x(으)로 치환합니다.

$$y+1-9y=-15$$

y을(를) -9y에 추가합니다.

$$-8y+1=-15$$

수식의 양쪽에서 1을(를) 뺍니다.

$$-8y=-16$$

양쪽을 -8(으)로 나눕니다.

$$y=2$$

x=y+1에서 y을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=2+1$$

1을(를) 2에 추가합니다.

$$x=3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=3,y=2$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-3x+3y=-3,x-9y=-15$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{-3\left(-9\right)-3}&-\frac{3}{-3\left(-9\right)-3}\\-\frac{1}{-3\left(-9\right)-3}&-\frac{3}{-3\left(-9\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{24}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{8}\left(-3\right)-\frac{1}{8}\left(-15\right)\\-\frac{1}{24}\left(-3\right)-\frac{1}{8}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=3,y=2$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-3x+3y=-3,x-9y=-15$$

-3x 및 x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -3을(를) 곱합니다.

$$-3x+3y=-3,-3x-3\left(-9\right)y=-3\left(-15\right)$$

단순화합니다.

$$-3x+3y=-3,-3x+27y=45$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -3x+3y=-3에서 -3x+27y=45을(를) 뺍니다.

$$-3x+3x+3y-27y=-3-45$$

-3x을(를) 3x에 추가합니다. -3x 및 3x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$3y-27y=-3-45$$

3y을(를) -27y에 추가합니다.

$$-24y=-3-45$$

-3을(를) -45에 추가합니다.

$$-24y=-48$$

양쪽을 -24(으)로 나눕니다.

$$y=2$$

x-9y=-15에서 y을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x-9\times 2=-15$$

-9에 2을(를) 곱합니다.

$$x-18=-15$$

수식의 양쪽에 18을(를) 더합니다.

$$x=3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=3,y=2$$